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Ausgewählte Ableitungen

Allgemein:
Ganz einfach gesagt: Die Differentialrechnung untersucht das Steigungsverhalten von (Funktions)Graphen. So kann man auch die Ableitung auf einen Graphen übertragen, die (1.) Ableitung einer Funktion bzw. eines Graphen ist deren Steigungsverhalten (also, wie verändert sich der Graph). Der Sinn von Ableitungen ist in der Regel nicht das Lösen von Gleichungen, sondern Funktion bzw. Graphen charakterisieren zu können (z.B. "Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkt)"). Die 2. Ableitung gibt an, wie "gekrümmt" die Funktion ist. Weiteren Ableitungen sind für die Charakterisierung der Ausgangsfunktion nicht mehr aussagekräftig bzw. ohne Bedeutung.

Ableitungen werden überall dort verwendet, wo die Änderung einer Größe von der gleichen Größe selbst abhängt. 
Beispiele:

  • Die Funktion f beschreibt den Ort, dann beschreibt die f´ die Änderung des Ortes und das ist nichts anderes, als die Geschwindigkeit
  • Die Funktion f beschreibt die Größe eine Bevölkerung, dann beschreibt f´deren Änderung und das ist nichts anderes als das Bevölkerungswachstum. Allgemein beschreibt die Funktion f eine Größe und f´die Änderungsrate dieser Größe


Wie funktioniert"Differenzieren" (Ableiten)?:
Zum Differenzieren von Funktionen kann man die Potenz- (f(x) =a·xn) bzw. Summenregel (f(x) =a·xn + b·xm) für einfache Funktionen verwenden. Für schwierigere Fälle benötigt man die Produkt- bzw. Quotientenregel (f(x) = u(x) · v(x)), manchmal auch die Kettenregel (f(x) = (x + b)n). Daneben gibt es noch einzelne Funktionen, deren Ableitung (Lösung) man auswendig lernen muss. 
 

Ausgewählte Ableitungen von Funktionen:
(die man auswendig kennen sollte)
 

  • Ausgewählte Ableitungen von Funktionen mit Potenzen.

 
  • Ausgewählte Ableitungen spezieller Funktionen

 
 
  • Ausgewählte Ableitungen von e- und ln-Funktionen


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