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Ausgewählte Stammfunktionen bzw. Lösungen von Differentialgleichungen 

Allgemein:
Das Lösen von Differentialgleichungen  ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften.
Grundsätzlich unterscheidet man nach gewöhnlicher und partieller Differentialgleichung, wobei die Zahl der auftretenden Variablen zur Unterscheidung verwendet wird: 

  • Gewöhnliche Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt nur von einer Variablen ab (y' = f(x))
  • Partielle Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt von mehreren Funktionen bzw. Variablen ab (y' = f(x)·g(y))
Daneben existieren noch die Bernoulli-Differentialgleichungen (y' = f(x)y + h(x)yr) und die Ricatti-Differentialgleichungen (y' = f(x) + g(x)y + h(x)y)

Lösungsverfahren:
Die Lösung einer Differentialgleichung kann im Allgemeinen nicht durch die Gleichung selbst eindeutig bestimmt werden, sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte zu exakten Bestimmung. Daher ist es nicht möglich, eine allgemein gültige Lösungsmethodik anzugeben. Nur für gewöhnliche, integrable Differentialgleichungen existiert ein allgemeines Lösungsverfahren.
Folgende Lösungsverfahren sind möglich:

  • Für gewöhnliche Differentialgleichungen benutzt man die Umkehrung des Differenzierens, in dem man die Stammfunktion aufsucht und so die Differentialgleichung  integriert. Die Lösungsfunktion ist dann einfach die Stammfunktion der Differentialgleichung. Beispiel: f´(x) = 4, dann ist die Stammfunktion F(x) = 4x + C und somit die Lösung der Differentialgleichung.
  • Partielle Differentialgleichungen werden in erster Linie durch Trennung der Variablen und spätere Integration gelöst.


Ausgewählte Stammfunktionen:
Nachfolgend findet sich ein Überlick über die wichtigsten Stammfunktionen, die zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen immer wieder benötigt werden.
 
 

Differentialgleichung y´(x) =
Lösung (Stammfunktion) F(x) =
                                              a
ax + C
                                              ax
(ax) : (ln a)  + C
ex
ex + C
ea·x
(1/a)ea·x  + C
1/x
ln x + C
sin x
- cos x + C
cos x
sin x + C
sin² x
0,5·(x - sin x · cos x) + C
cos² x
0,5·(x + sin x · cos x) + C
tan x
- ln (sin x) + C
f´(x) · f(x)
0,5·(f(x))² + C
f´(x) · f(x)n
(1/(1+ n)) · (f(x))n+1 + C
f´(x) : f(x)
ln (f(x)) + C

Mithilfe der Kenntnis der Stammfunktionen lässen sich viele (partielle) Differentialgleichungen lösen. 
Zur Wiederholung: Lösungsverfahren von partiellen Differentialgleichungen


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