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Die gewöhnliche lineare Differentialgleichung - Lösungsverfahren

Allgemein:
Das Lösen von Differentialgleichungen  ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften.
Grundsätzlich unterscheidet man nach gewöhnlicher und partieller Differentialgleichung, wobei die Zahl der auftretenden Variablen zur Unterscheidung verwendet wird: 

  • Gewöhnliche Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt nur von einer Variablen ab (y' = f(x))
  • Partielle Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt von mehreren Funktionen bzw. Variablen ab (y' = f(x)·g(y))
Daneben existieren noch die Bernoulli-Differentialgleichungen (y' = f(x)y + h(x)yr) und die Ricatti-Differentialgleichungen (y' = f(x) + g(x)·y + h(x)y)
Die Lösung einer Differentialgleichung kann im Allgemeinen nicht durch die Gleichung selbst eindeutig bestimmt werden, sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte zu exakten Bestimmung. Daher ist es nicht möglich, eine allgemein gültige Lösungsmethodik anzugeben. Nur für gewöhnliche, integrable Differentialgleichungen existiert ein allgemeines Lösungsverfahren.
Folgende Lösungsverfahren sind möglich:
  • Für gewöhnliche Differentialgleichungen benutzt man die Umkehrung des Differenzierens, in dem man die Stammfunktion aufsucht und so die Differentialgleichung  integriert. Die Lösungsfunktion ist dann einfach die Stammfunktion der Differentialgleichung. Beispiel: f´(x) = 4, dann ist die Stammfunktion F(x) = 4x + C und somit die Lösung der Differentialgleichung.
  • Partielle Differentialgleichungen werden in erster Linie durch Trennung der Variablen und spätere Integration gelöst.


Die gewöhnliche lineare Differentialgleichung:
Wie oben schon beschrieben, hängt die gewöhnliche Differentialgleichung nur von einer Variablen ab (allgemein y' = f(x)). Eine "lineare Differenzialgleichung" bedeutet, dass die gesuchte Funktion und deren Ableitungen nur in der ersten Potenz vorkommen und zusätzlich dürfen keine Produkte von gesuchter Funktion und ihren Ableitungen auftreten. 
Beispiel: y´(x) + 2·y(x) = 0 (gewöhnliche lineare Funktion):

  • gewöhnlich, da die DGL nur von der Variable "x" abhängt
  • linar, da in der Gleichung einmal die Ableitung y´(x) und zweimal die Funktion y(x) vorkommt. Allgemein: y´(x) = a·y(x)
Diese Gleichung kann man auch als homogene, gewöhnliche lineare Differentialgleichung bezeichnen, denn ähnlich wie bei homogenen linearen Gleichungen liegt hier ein "mathematischer Ausdruck" der Form "a + b = 0" vor => homogen.

Lösungsvorschlag:
Im Grunde ist die Integration nichts anders als die umgekehrte Ableitung. Eine Möglichkeit, eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zu integrieren ist die sog. Potenzregel. Ziel der Potenzregel ist es, Funktionen der Form  f'(x) = y´(x) = a·xn zu integrieren.

  • 1. Schritt: Man bringt die gegebene DGL auf die Form y´(x) = a·xn .
  • 2. Schritt: Bei der Potenzregel wird die Hochzahl der Funktion betrachtet, die integriert werden soll. Zu dieser (Hochzahl) addiert man die Zahl 1 und diese neue Zahl schreibt man als den neuen Exponenten und teilt gleichzeitig die Funktion durch diese Zahl
Eine Möglichkeit, eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zu integieren ist die sog. Summenregel. Ziel der Summenregel ist es, Funktionen der Form  f'(x) = y´(x) = a·xn + b·xm + .. zu integrieren
  • 1. Schritt: Man bringt die gegebene Funktion auf die Form y´(x) = a·xn + b·xm + .. 
  • 2. Schritt: Die Summenregel besagt, dass man bei einer endlichen Summe von Funktionen auch gliedweise integrieren darf. Somit wendet man bei jedem Glied der Funktion die Potenzregel an.

Zuletzt sei noch kurz das Lösungsverfahren für DGL des Typs f'(x) = y´(x) = a bzw. DGL die ein Glied ohne Variable aufweisen:

Die Lösung einer Differentialgleichung mithilfe der eben gezeigten Verfahren kann im Allgemeinen nicht die Gleichung selbst eindeutig bestimmen (deswegen C = Konstante), sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte zu exakten Bestimmung.

Beispiel:

  • y´(x) = 6x + 3    =>  y(x) = 6·(x²) : 2  + 3x + C = 3x² + 3x + C


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