Extremwerte einer Funktion – Kurvendiskussion

Eine Funktion stellt einen Zusammenhang zwischen zwei Elementen her (einer unabhängigen Variable und einer abhängigen Variable). Die Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Ein Untersuchungskriterium einer Funktion ist die Bestimmung von Extremwerten der Funktion. Extremwerte sind beispielsweise das Minimum und das Maximum einer Funktion (eines Graphen)

Extremwerte einer Funktion

(Fast) jede Funktion bzw. jede Abbildung in einem Koordinatensystem hat einen “höchsten” Punkt und einen “tiefsten” Punkt. In der Analysis (bzw. der Kurvendiskussion) werden solche Punkte (bzw. Werte) als Hochpunkt (=> Maximum) und Tiefpunkt (=> Minimum) bezeichnet. Diese beiden Punkte werden auch als Extremwerte bezeichnet und lassen sich mit Hilfe der Steigung der Funktion (zeichnerisch und rechnerisch) ermitteln:

  • Hochpunkt: Vor einem Hochpunkt ist die Steigung der Funktion positiv und nach dem Hochpunkt negativ, d.h der zugehörige Graph der Funktion steigt erst an, erreicht den Hochpunkt und sinkt anschließend.
  • Tiefpunkt: Vor einem Tiefpunkt ist die Steigung der Funktion negativ und nach dem Tiefpunkt positiv.
Die Extremwerte einer Funktion

Die Extremwerte einer Funktion

Wie wir in der obigen Abbildung erkennen, lässt sich ein Extremwert (egal ob Hochpunkt oder Tiefpunkt) näherungsweise graphisch ermitteln, die genauen Koordinatenangaben müssen in der Regel rechnerisch ermittelt werden. Und hier hilft uns die 1. Ableitung. Denn die 1. Ableitung einer Funktion ist nichts anders, als die Steigung der Funktion.

Bestimmmung der Extremwerte einer Funktion

Um die Extremwerte der Funktion zu bestimmen, gehen wir nun folgendermaßen vor:

  • Wir leiten die Funktion f ab und erhalten die 1. Ableitung f´
  • Da am “Ort” des Extremwertes keine Steigung vorhanden ist, setzen wir die 1. Ableitung gleich “Null” (f´(x) = 0). Löst man diese Gleichung nach x auf, so erhält man die x-Werte aller Extremstellen.
  • Nun müssen wir noch ermitteln, ob es sich bei dem Extremwert um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt. Dazu berechnen wir die Steigung vor dem Extremwert und nach dem Extremwert. Dazu genügt es, einen Wert x < x(Extremstelle) und einen Wert x > x(Extremstelle) in die erste Ableitungsfunktion einzusetzen und die Vorzeichen zu prüfen.Nun gibt es die Möglichkeit positiv-negativ (Hochpunkt) und negativ-positiv (Tiefpunkt).

Nun ist die Mathematik “doch” etwas komplizierter, was man aber erst in höheren Klassenstufen lernt, aber hier schon einmal ein Vorgriff:

  • Es gibt auch die Möglichkeit, dass die Steigung vor dem Extremwert positiv ist und nach dem Extremwert auch positiv ist. In diesem Fall haben wir auch einen Extremwert vorliegen, allerdings keinen Hochpunkt oder Tiefpunkt, sondern einen sogenannten Terassenpunkt.
  • Nun gibt es auch “komplexere” Funktionen, die mehrere Extremwerte bzw. mehrere “Hochpunkte” und “Tiefpunkte” aufweisen. In diesem Fall müssen wird auch die einzelnen Hoch- bzw. Tiefpunkte untereinander vergleichen. Der “echte” Hochpunkt der Funktion ist der Punkt mit dem größten Funktionswert, der “echte” Tiefpunkt” ist der Punkt mit dem kleinsten bzw. niedrigsten Funktionswerte. Alle anderen Extremwerte werden als lokale Extremstellen bezeichnet. Manchmal wird in Lehrplänen auch der Begriff “absoluter” Hoch- bzw. Tiefpunkt und “lokaler” Hoch- und Tiefpunktverwendet.

Extremwerte einer Funktion – Kurvendiskussion – Testfragen/-aufgaben

1. Was versteht man unter dem Begriff “Extremwerte” in Zusammenhang mit einer Funktion?

Unter Extremwerten einer Funktion versteht man die höchsten (maxima) und niedrigsten (minima) Werte, die eine Funktion annimmt. Sie werden durch die Ableitung der Funktion bestimmt.

2. Wie finden Sie die Extremwerte einer Funktion?

Die Extremwerte einer Funktion finden Sie, indem Sie die erste Ableitung der Funktion bilden und diese gleich Null setzen. Die Lösungen dieser Gleichung sind die möglichen Extremwerte. Mit Hilfe der zweiten Ableitung können Sie dann bestimmen, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt.

3. Wie bestimmen Sie, ob ein Extremwert ein Maximum oder ein Minimum ist?

Sie bestimmen, ob ein Extremwert ein Maximum oder ein Minimum ist, indem Sie die zweite Ableitung der Funktion an dieser Stelle berechnen. Ist diese positiv, handelt es sich um ein Minimum, ist sie negativ, um ein Maximum.

4. Was ist der Unterschied zwischen lokalen und globalen Extremwerten?

Lokale Extremwerte liegen innerhalb eines bestimmten Bereichs einer Funktion und sind dort die höchsten oder niedrigsten Werte. Globale Extremwerte sind hingegen die höchsten oder niedrigsten Werte der gesamten Funktion.

5. Was versteht man unter einer Kurvendiskussion?

Unter einer Kurvendiskussion versteht man die analytische Untersuchung einer Funktion bezüglich ihrer wichtigsten Eigenschaften wie Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkten, Symmetrie, Asymptoten und Verhalten im Unendlichen.

6. Wie bestimmen Sie Wendepunkte einer Funktion?

Wendepunkte einer Funktion bestimmen Sie, indem Sie die zweite Ableitung der Funktion bilden und diese gleich Null setzen. Die Lösungen dieser Gleichung sind die möglichen Wendepunkte. Mit Hilfe der dritten Ableitung können Sie dann überprüfen, ob es sich tatsächlich um einen Wendepunkt handelt.

7. Was ist die Rolle der Ableitung bei der Bestimmung von Wendepunkten und Extremstellen?

Die Ableitungen einer Funktion spielen eine zentrale Rolle bei der Bestimmung von Wendepunkten und Extremstellen. Die erste Ableitung wird verwendet, um Extremstellen zu finden, während die zweite Ableitung zur Bestimmung von Wendepunkten dient.

8. Wie kann man die Symmetrie einer Funktion bestimmen?

Die Symmetrie einer Funktion kann man bestimmen, indem man die Funktion auf gerade oder ungerade Funktionen untersucht. Eine Funktion ist gerade, wenn sich das Vorzeichen nicht ändert, wenn x durch -x ersetzt wird. Sie ist ungerade, wenn sich das Vorzeichen ändert, wenn x durch -x ersetzt wird.

9. Wie erkennt man, ob eine Funktion Nullstellen hat und wie findet man diese?

Die Nullstellen einer Funktion sind die x-Werte, für die der Funktionswert gleich null ist. Man findet die Nullstellen, indem man die Funktion gleich null setzt und diese Gleichung nach x auflöst.

10. Was liegt an den Stellen vor, an denen die Ableitung einer Funktion null ist?

An den Stellen, an denen die Ableitung einer Funktion null ist, liegen entweder Extremstellen oder Sattelpunkte vor. Ob es sich um ein Extremum oder einen Sattelpunkt handelt, kann man mit Hilfe der zweiten Ableitung bestimmen.