Folgen und Reihen liegen nicht nur in der Mathematik vor, sondern auch in allen naturwissenschaftlichen Fächern. Dieses Kapitel soll daher als eine “einfache ” Einführung in die Thematik “Folgen und Reihen” dienen. Folgen bzw. Zahlenfolgen kennen wir aus dem Alltag und Technik, vor allem wenn es um eine “Aufzählung” von Zahlen / Werten geht. Nicht jede Aufzählung von Zahlen (z.B. 1, 3, 4, 5) entspricht (mathematisch) einer Folge bzw. Zahlenfolge. Eine echte Folge bzw. Zahlenfolge liegt vor, wenn sich zwischen den Zahlen der Folge eine Gesetzmäßigkeit ableiten lässt. Das heißt, für jede Folge lässt sich eine “Formel” herleiten, nach der jedes Glied der Folge bestimmt werden kann. Die einfachste Folge ist daher 1,2,3,4,5 …
Wie eingangs erwähnt, ist eine (echte) Folge bzw. Zahlenfolge nicht nur eine Aneinanderreihung von Zahlen, sondern eine Aneinanderreihung von Zahlen nach einer bestimmten Regel (Formel). Daher können in einer Folge die Abfolge der Zahlen auch nicht geändert werden, die (richtig) Reihenfolge der Zahlen ist das, was eine Folge ausmacht. Den Umgang mit Folgen (und entsprechend Reihen) lernt man in der Mathematik, sind aber auch grundlegend für alle naturwissenschaftlichen Fächer.
Damit eine Zahlenfolge vorliegt, muss eine Gesetzmäßigkeit zwischen den einzelnen Gliedern der Folge gelten. Die Grundrechenoperationen (Addition/Subtraktion und Multiplikation/Division), die wir kennen, implizieren bereits, dass es zwei Grundarten von Folgen gibt: zum einen die arithmetische Folge und zum anderen die geometrische Folge:
Arithmetische Folgen
Eine arithmetische Folge liegt vor, wenn die Differenz zweier benachbarter Glieder der Folge konstant ist. Ein Beispiel für eine solche arithmetische Folge ist die Zahlenfolge 1,2,3,4… Die Differenz zwischen zwei benachbarten Gliedern dieser Folge ist immer 1. Eine arithmetische Folge bzw. Zahlenfolge entsteht immer dann, wenn ein Glied der Folge durch Addition einer Konstante zum vorherigen Glied gebildet wird.
Eine arithmetische Folge lässt sich daher einfach erkennen, indem man die Differenz zweier benachbarter Glieder berechnet. Die Differenz zwischen allen benachbarten Glieder muss gleich bzw. konstant sein. Daher gilt für eine arithmetische Folge: a(n+1) – an = k
Das n-te Glied einer arithmetischen Folge lässt sich dadurch berechnen, indem zum ersten Glied (n-1)-mal die Konstante dazu addiert wird.
Geometrische Folgen
Eine geometrischen Folge liegt vor, wenn der Quotient zweier benachbarter Folgeglieder der Folge konstant ist. Ein Beispiel für eine solche geometrische Folge ist die Zahlenfolge 1,2,4,8… Der Quotient zwischen zwei benachbarten Gliedern dieser Folge ist immer 2. Eine geometrische Folge bzw. Zahlenfolge entsteht immer dann, wenn ein Glied der Folge durch Multiplikation des vorherigen Glieds mit einer Konstante gebildet wird.
Eine geometrische Folge lässt sich daher einfach erkennen, indem man den Quotient zweier benachbarter Glieder berechnet. Der Quotient zwischen allen benachbarten Glieder muss gleich bzw. konstant sein. Daher gilt für eine geometrische Folge: a(n+1) : an = k
Das n-te Glied einer geometrischen Folge lässt sich dadurch berechnen, indem das erste Glied (n-1)-mal mit der Konstante multipliziert wird.
Zusätzlich kann jede Folge weiter unterteilt werden, in konvergente und Divergente Folgen. Hat eine Folge einen (endlichen) Grenzwert, so wird diese Folge als konvergent bezeichnet. Verfügt die Folge über keinen endlichen Grenzwert, wird diese Folge als divergent bezeichnet.
Mathematisch gesehen ist eine Reihe eine (Ab)Folgen von Partialsummen einer Folge. Die Reihe ist also eine Summe von n-Gliedern einer Zahlenfolge. Analog zu den Folgen gibt es auch arithmetische und geometrische Reihen.
Am Beispiel einer arithmetischen Reihe, soll die Bildung einer Reihe gezeigt werden:
Liegt eine arithmetische Folge vor, so gilt a(n+1) – an = k
Hieraus lässt sich die arithmetische Reihe berechnen: b =∑ ai = a1 + a2 + a3…
Wie eingangs erwähnt, sind Folgen und Reihen nicht nur mathematische Konstrukte, sondern werden oft in naturwissenschaftlichen Fächern angegeben. Jedes Mal, wenn Zahlenwerte aneinandergereiht (z.B. bei Messungen) liegt u.U. eine Folge bzw. Reihe vor.
Eine Folge in der Mathematik ist eine Auflistung von Zahlen, die eine bestimmte Reihenfolge oder Muster folgt. Jeder Zahl in der Folge wird ein Index zugeordnet, der ihre Position in der Reihenfolge bestimmt.
Eine arithmetische Folge ist eine Folge von Zahlen, in der der Unterschied zwischen aufeinanderfolgenden Zahlen konstant ist. Dies ist als die “gemeinsame Differenz” bekannt.
Die n-te Summe einer arithmetischen Folge wird berechnet durch den Ausdruck n/2 * [2a + (n-1)d], wobei ‘a’ der erste Term ist, ‘d’ die gemeinsame Differenz und ‘n’ die Anzahl der Terme in der Folge ist.
Eine geometrische Folge ist eine Folge von Zahlen, in der das Verhältnis von aufeinanderfolgenden Zahlen konstant bleibt. Dies ist als das “gemeinsame Verhältnis” bekannt.
Der n-te Term einer geometrische Folge wird berechnet durch den Ausdruck ar^(n-1), wobei ‘a’ der erste Term ist, ‘r’ das gemeinsame Verhältnis und ‘n’ der Positionsterm ist.
Eine unendliche Folge in der Mathematik ist eine Folge, die kein Ende hat. Es hat unendlich viele Begriffe und geht unendlich weiter.
Eine Reihe in der Mathematik ist die Summe der Terme einer bestimmten Folge. Es ist die aufeinanderfolgende Addition der Terme in einer Folge.
Die Summe einer geometrische Reihe wird berechnet durch den Ausdruck a * (1 – r^n ) / (1 – r), wobei ‘a’ der erste Term ist, ‘r’ das gemeinsame Verhältnis und ‘n’ die Anzahl der Terme ist.
Eine konvergente Reihe ist eine Reihe, deren Summe sich einem bestimmten Wert annähert, wenn die Anzahl der Terme unendlich wird.
Eine divergente Reihe ist eine Reihe, deren Summe ins Unendliche geht, wenn die Anzahl der Terme unendlich wird.