Im Kapitel “Ableitung” von Funktion ist bereits erwähnt worden, dass der Hauptzweck von Ableitungen der Charakterisierung von Funktionen bzw. deren Graphen dient. Diese Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Das Ziel dabei ist, die Eigenschaften einer Funktion herauszufinden, ohne diese graphisch lösen zu müssen (also zu zeichnen). Wichtige (zu bestimmende) Eigenschaften sind dabei: Extrempunkte, Wendepunkte, Nullstellen, Krümmungsverhalten und Symmetrie.
Die Untersuchung von Funktionen (Kurvendiskussion) ist nicht nur eine elementare mathematische Methode, sondern findet auch außerhalb der Mathematik breite Anwendung, z.B. in der Chemie: der Verlauf einer Reaktion lässt sich beschreiben. Aber nicht nur in den MINT-Fächern stößt man immer wieder auf die Notwendigkeit, Graphen zu untersuchen bzw. zu interpretieren. Bestes Beispiel ist z.B. die Berechnung des Break-Even (in wirtschaftlichen Fächern), oft handelt es sich dabei um komplizierte Funktionen mit deren Hilfe berechnet werden soll, ab welcher Stückzahl man Gewinn macht.
Nachfolgend finden sich einige Möglichkeiten, eine Funktion bzw. Graphen zu charakterisieren:
Unter der “Analyse von Funktionen” versteht man die Untersuchung von Funktionen hinsichtlich verschiedener Aspekte wie Grenzwerte, Kontinuität, Ableitungen, Integralverhalten und Nullstellen.
Der Grenzwert einer Funktion kann durch einen Grenzübergang bestimmt werden. Hierbei lässt man die Variable auf einen bestimmten Wert zugehen und beobachtet, welchem Wert die Funktion dabei zustrebt.
Unter der Ableitung einer Funktion versteht man die Rate, mit welcher sich der Wert der Funktion ändert. Sie gibt an, wie steil die Tangente an einem bestimmten Punkt auf der Funktion ist und wird oft benutzt, um Extremstellen oder Wendepunkte zu bestimmen.
Die Nullstellen einer Funktion sind jene x-Werte, für die die Funktion den Wert 0 hat. Man findet sie, indem man die Funktion gleich Null setzt und diese Gleichung nach x auflöst.
Ein Sattelpunkt ist ein Punkt auf einer Funktion, bei dem die erste Ableitung null und die zweite Ableitung ungleich null ist. An diesem Punkt ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion.
Extremstellen sind die maximalen oder minimalen Werte, die eine Funktion annehmen kann. Man findet sie, indem man die erste Ableitung der Funktion bildet und diese gleich Null setzt.
Eine Funktion ist kontinuierlich an einer Stelle, wenn der Grenzwert an dieser Stelle dem Funktionswert entspricht. Dies kann man prüfen, indem man die Grenzwerte von links und rechts untersucht und mit dem Funktionswert vergleicht.
Die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle gibt an, wie stark der Funktionswert mit jeder Einheit in x-richtung steigt oder fällt. Sie ist der Wert der Ableitung der Funktion an dieser Stelle.
Die Fläche unter einer Funktion bestimmt man mithilfe der Integralrechnung. Dabei wird die Fläche in sehr kleine Rechtecke aufgeteilt und diese addiert.
Wendepunkte sind solche Punkte auf der Funktion, an denen sich die Krümmung der Funktion ändert. Sie lassen sich bestimmen, indem man die zweite Ableitung der Funktion gleich Null setzt und die Untersuchung des Krümmungsverhaltens durchführt.