Die Logarithmusfunktion in den Naturwissenschaften

In einem anderen Kapitel wurde die Exponentialfunktion vorgestellt, eine Funktion der Form f(x) = a^x. Mithilfe dieser Funktion lassen sich in der Naturwissenschaft viele “Phänomene” beschreiben (z.B. Bevölkerungswachstum). Nun stellt sich (in diesem Kapitel) die Frage, wie man solche Exponentialfunktionen lösen kann. Damit man die oben genannte Funktion nach der Variable x auflösen kann, verwendet man den sogenannten Logarithmus. Mit Hilfe des Logarithmus lassen sich (fast) alle Exponentialfunktionen lösen. Die drei bekannten Logarithmusfunktionen sind der natürliche, der dekadische und der binäre Logarithmus.

Logarithmus bzw. die Logarithmusfunktion

Wie bereits erwähnt, werden viele chemische, biologische und chemische Prozesse durch eine Exponentialfunktion beschreiben. In der Regel ist es Ziel der Naturwissenschaften bzw. Mathematik die unbekannte “Variable” (der unbekannte Exponent). Damit der Exponent der Exponentialfunktion bestimmt werden kann, muss die Gleichung so aufgelöst werden, dass der (ehemalige) Exponent auf einer Seite der Gleichung aufgelöst wird. Dies erreicht man mithilfe des Logarithmus bzw. der Logarithmusfunktion. Um eine Exponentialfunktion mithilfe des Logarithmus nach dem Exponenten aufzulösen, verwendet man folgende mathematische Beziehung:

Beispiel: 2³ = 8 => 3 = log₂ 8

Der Logarithmus (zur Basis b) der Zahl a entspricht dem Exponenten x, mit dem die Basis b potenziert wird. Dies gilt für alle Logarithmusfunktionen. IN den naturwissenschaftlichen Fächern haben sich im Grunde der Formen des Logarithmus durchgesetzt:

• Dekadischer Logarithmus : Logarithmus zur Basis 10. In der Regel schreibt man hier anstelle von “log₁₀” nur den Ausdruck”lg”.
• Natürlicher Logarithmus: Logarithmus zur Basis e (Eulersche Zahl). In der Regel schreibt man hier anstelle von “log_e” nur den Ausdruck “ln”.
• Binärer Logarithmus (oder Zweierlogarithmus): Logarithmus zur Basis e (Eulersche Zahl). In der Regel schreibt man hier anstelle von “log₂” nur den Ausdruck “ld”.

Will man Logarithmen verschiedener Basiswerte ineinander umrechnen, gilt folgende Beziehung:

Damit kann jeder Logarithmus auf eine beliebige Basis umgerechnet werden.

Rechenregel für das Rechnen mit dem Logarithmus

Es gilt folgende Rechenregel für das Rechnen mit dem Logarithmus:

log_a (uⁿ) = n·log_a(u)

Die Logarithmusfunktion in den Naturwissenschaften – Testfragen/-aufgaben

1. Was bedeutet der Begriff “Logarithmus”?

Ein Logarithmus ist eine mathematische Funktion, die beantwortet, wie oft ein bestimmter Wert als Faktor in einem Produkt vorkommen muss, um ein gegebenen Ergebnis zu erreichen.

2. Wie lautet die Definition der Logarithmusfunktion in den Naturwissenschaften?

Die Logarithmusfunktion ist in den Naturwissenschaften eine grundlegende Funktion der Exponentialfunktion. Sie wird oft bei Wachstums- und Zerfallsprozessen oder bei der Auswertung komplexer Datensätze angewendet.

3. Welche Bedeutung hat die Basis in einer Logarithmusfunktion?

Die Basis einer Logarithmusfunktion ist der Wert, dessen Potenz den Logarithmuswert erzielen soll.

4. Was ist der natürliche Logarithmus?

Der natürliche Logarithmus, oft als “ln” abgekürzt, verwendet die Eulersche Zahl “e”(ungefähr gleich 2.718) als Basis.

5. Wie funktioniert die Umwandlung zwischen Logarithmus- und Exponentialform?

Zur Umwandlung zwischen Logarithmus- und Exponentialform muss man sich daran erinnern, dass der Logarithmus die Potenz ist, die benötigt wird, um die Basis auf einen bestimmten Wert zu bringen. Wenn also b^y = x, dann ist log_b(x) = y.

6. Welche Eigenschaften hat eine Logarithmusfunktion?

Eine Logarithmusfunktion ist stets monoton steigend oder fallend, hat eine asymptotische Annäherung an die x-Achse und verläuft durch den Punkt (1|0).

7. Wie lauten die Logarithmengesetze?

Es gibt drei grundlegende Logarithmengesetze: Das Produkt-, das Quotienten- und das Potenzgesetz. Das Produktgesetz besagt, dass log_b(mn) = log_b(m) + log_b(n). Das Quotientengesetz lautet, dass log_b(m/n) = log_b(m) – log_b(n). Das Potenzgesetz besagt, dass log_b(m^n) = n * log_b(m).

8. Was ist eine halblogarithmische Darstellung?

Eine halblogarithmische Darstellung ist eine Form der Graphendarstellung, bei der eine Achse logarithmisch und die andere linear skaliert ist. Sie wird oft in den Naturwissenschaften verwendet, um exponentielle Daten auf eine übersichtliche Weise zu präsentieren.

9. Wofür wird die Logarithmusfunktion in den Naturwissenschaften angewendet?

Die Logarithmusfunktion findet Anwendung in verschiedenen Bereichen der Naturwissenschaften, darunter in der Analyse von Wachstums- und Zerfallsprozessen, in der Biologie zur Beschreibung von Populationsdynamiken, in der Chemie zur Berechnung des pH-Werts oder in der Astronomie zur Darstellung von Helligkeitsskalen.

10. Wie lässt sich eine Logarithmusfunktion graphisch darstellen?

Die graphische Darstellung einer Logarithmusfunktion beginnt immer am Punkt (1|0) und liegt komplett über der x-Achse. Je nach Basis kann sie dann entweder steigen oder fallen, wobei sie steigt, wenn die Basis größer als 1 ist, und fällt, wenn die Basis zwischen 0 und 1 liegt.