Neben dem “Rechnen im Dreieck” ist das Gebiet “Rechnen im Viereck” ein weiteres wichtiges Werkzeug in der analytischen Geometrie. Die analytische Geometrie ist nicht nur ein wichtiges Werkzeug in der Mathematik, sondern auch in anderen Naturwissenschaften wie z.B. Physik bei der Bestimmung von Kräften. In diesem Kapitel soll nun näher auf das Viereck eingegangen werden.
Aufbau eines Vierecks
Bei einem Viereck handelt es sich um eine geometrische Figur, wobei die “Figur” vier Seiten, vier (Innen)winkel, zwei Diagonale und vier Ecken aufweist. Es handelt sich innerhalb der euklidischen Geometrie um eine Figur in der Ebene. Die Eckpunkte eines Vierecks werden immer in Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn klassifiziert. Wichtige mathematische Größen bei Vierecken sind die vier Seiten und die vier Winkel, der die unterschiedlichen Vierecke unterscheidet.
Arten von Vierecken
Wie bereits erwähnt, kann man die Vierecke aufgrund deren Seiten und Winkel unterscheiden. Bei Vierecken werden folgende Arten unterschieden:
- Parallelogramm (auch als Rhomboid bezeichnet): Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind. Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß und zusätzlich gilt, dass sich die Diagonalen gegenseitig halbieren.
- Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem sich alle Seiten senkrecht zueinander befinden, d.h. alle Winkel sind 90°. Auch hier gilt, dass sich die Diagonalen halbieren und gleich lang sind und gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.
- Rhombus (auch als Raute bezeichnet): Ein Rhombus ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Gegenüberliegende Winkel sind im Rhombus immer gleich groß und die beiden Diagonalen stehen senkrecht zueinander und bilden Winkelhalbierende.
- Quadrat: Ein Quadrat ist eine spezielle Form eines Rhombus, also ein Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Gegenüberliegende Winkel sind im Rhombus immer gleich groß und die beiden Diagonalen stehen senkrecht zueinander und bilden Winkelhalbierende. Zusätzlich gilt natürlich (im Unterschied zum Rhombus), dass alle Winkel gleich groß sind und 90° betragen.
- Trapez: Ist ein Viereck mit nur zwei parallelen, gegenüberliegenden Seiten (im Gegensatz zu einem Parallelogramm).
- Viereck: Alle anderen Formen.
Übersicht
Übersicht über alle Vierecksformen
Unterscheidung
Zuerst einmal muss man bestimmen, dass es sich um ein Viereck handelt. Es handelt sich bei einem allgemeinen Viereck um einen geometrischen Körper mit vier Ecken und vier Seiten. Man benötigt also 4 Punkte, wobei nur immer zwei auf einer Geraden lieben dürfen, z.B. Seite AB, Seite AD …. u.s.w.). Hat man festgestellt, dass es sich um ein Viereck handelt, kann man die “genauere Form” bestimmen.
- Quadrat : Hat man vier Seiten, handelt es sich um ein Viereck. Sind alle Seiten des Vierecks gleich lang und alle (Innen)winkel im Viereck weisen 90° auf, so handelt es sich um ein Quadrat.
- Unterschied Quadrat – Rhombus (Raute) : In der Einleitung wurde erwähnt, dass ein Quadrat eine spezielle Form eines Rhombus ist. Wie beim Quadrat sind alle Seitenlängen im Rhombus gleich. Im Rhombus ist jeder Winkel möglich, bei dem Quadrat müssen viermal Winkel von 90° vorliegen. Daher kann man sagen, dass prinzipiell jedes Quadrat ein Rhombus ist, aber nicht umgekehrt.
- Unterschied Quadrat/Rhombus – Rechteck : Im Quadrat/Rhombus sind alle vier Seitenlängen gleich lang. In einem Rechteck sind nur jeweils zwei Seitenlängen gleich.
- Unterschied Rechteck – Parallelogramm : Bei einem Rechteck weisen alle vier Winkel 90° auf, bei einem Parallelogramm nicht.
- Unterschied Trapez – Parallelogramm : Bei einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel, gegenüber liegende Winkel sind gleichgroß. Bei einem Trapez hingegen sind nur zwei gegenüberliegende Seiten parallel.
Wichtig Größen in einem Viereck:
- Die Innenwinkelsumme (die Addition aller vier Winkel) in jedem Viereck beträgt immer 360°.
- Eine Diagonale teilt das Viereck in zwei Dreiecke, so teilt die Diagonale f (Diagonale von B nach E) das Viereck in die Dreiecke ABD und DBC,d.h. die Winkel bei B (b = beta) und D (d = delta) werden geteilt in b 1 (beta1), b 2 (beta2) und d 1(delta1), d 2 (delta2). Da in jedem Dreieck die Summe der Innenwinkel 180° beträgt, giilt: a (alpha) + b 1 (beta1) + d 1 (delta1) = 180° und d 1 (delta1) + b 2 (beta2) + g (gamma) = 180°.
- Zwischen den Seiten a, b, c, d eines Vierecks, den Diagonalen e, f und der Verbindungslinie m der Mittelpunkte der Diagonalen gilt: a²+b²+c²+d² = e²+f²+4m² (im Parallelogramm gilt: a²+b²+c²+d² = e²+f²).
- Bei Vierecken gilt der sog. Satz von Varginon, d.h. wenn man die Mittelpunkte aller vier Seiten eines beliebigen Vierecks miteinander verbindet, so entsteht ein Parallelogramm.
Rechnen im Viereck – Viereck allgemein – Testfragen/-aufgaben
1. Definieren Sie den Begriff “Viereck”.
Ein Viereck ist eine ebene geometrische Figur mit vier Seiten und vier Ecken.
2. Nennen Sie die vier Hauptarten von Vierecken und beschreiben Sie ihre Eigenschaften.
Die vier Hauptarten von Vierecken sind das Quadrat (alle Seiten gleich lang und alle Winkel rechte Winkel), das Rechteck (alle Winkel rechte Winkel, die Seiten können unterschiedlich lang sein), das Parallelogramm (gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang und parallel, Winkel müssen nicht rechte Winkel sein) und das Trapez (zwei Seiten sind parallel, die anderen nicht unbedingt).
3. Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Vierecks?
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Vierecks ist: Flächeninhalt = Basis x Höhe. Für spezielle Vierecke, wie das Quadrat und das Rechteck, wird die Formel: Flächeninhalt = Länge x Breite angewandt.
4. Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks?
Der Umfang eines Rechtecks wird berechnet mit der Formel: Umfang = 2*(Länge + Breite).
5. Wie berechnet man die Diagonale eines Quadrats?
Die Diagonale eines Quadrats kann mit der Formel: Diagonale = Seite*√2 berechnet werden.
6. Warum ist in jedem Parallelogramm die Summe der Innenwinkel gleich 360 Grad?
Die Summe der Innenwinkel in jedem Viereck, also auch in einem Parallelogramm, ist immer 360 Grad, da ein Viereck vier Ecken hat und jede Ecke einen Winkel von 90 Grad hat.
7. Was ist das Besondere an einem Rhombus als spezielle Form eines Parallelogramms?
Ein Rhombus ist ein spezielles Parallelogramm, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Auch hier sind die gegenüberliegenden Seiten parallel und die gegenüberliegenden Winkel gleich groß.
8. Wie unterscheidet sich ein Quadrat von einem Rechteck?
In einem Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang, während ein Rechteck nur über Paare gleich langer Seiten verfügt. Außerdem hat ein Quadrat vier rechte Winkel, während ein Rechteck mindestens zwei rechte Winkel hat.
9. Wie werden die Seiten in einem Parallelogramm genannt?
Die Seiten eines Parallelogramms werden als Basis und Höhe bezeichnet. Die Höhe eines Parallelogramms ist der Abstand zwischen den beiden Basen.
10. Was ist die Hauptunterscheidung zwischen einem Parallelogramm und einem Trapez?
Beim Parallelogramm sind alle gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel, während im Trapez nur ein Paar gegenüberliegender Seiten gleich lang und parallel ist.
