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Flächen von Vierecken

Allgemeines:
Neben dem "Rechnen im Dreieck" ist das Gebiet "Rechnen im Viereck" ein weiteres wichtiges Werkzeug in der analytischen Geometrie. Die analytische Geometrie ist nicht nur ein wichtiges Werkzeug in der Mathematik, sondern auch in anderen Naturwissenschaften wie z.B. Physik bei der Bestimmung von Kräften. 
Bei einem Viereck handelt es sich um eine geometrische Figur, wobei die "Figur" vier Seiten, vier (Innen)winkel, zwei Diagonale und vier Ecken aufweist. Es handelt sich innerhalb der euklidischen Geometrie um eine Figur in der Ebene. Die Eckpunkte eines Vierecks werden immer in Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn klassifiziert. Wichtige mathematische Größen bei Vierecken sind die vier Seiten und die vier Winkel, der die unterschiedlichen Vierecke unterscheidet.
In dem nun folgenden Kapitel soll die Berechnung von Flächen bei Vierecken genauer betrachtet werden.
 

Die Fläche von Vierecken:
Oft hört man, die Formel zur Berechnung von Flächen bei Vierecken ist einfach "Höhe mal Länge". Dies ist aber nur ein Teil der Wahrheit. Im allgemeinen Teil über Vierecke wurde bereits aufgezeigt, dass es verschiedene Arten von Vierecken gibt. Dies fängt an bei Quadraten (alle Seiten sind gleich lang) bis zum Trapez (bei dem mehrere unterschiedlich lange Seiten vorliegen.

  • Fächeninhalt eines Quadrates: In einem Quadrat sind alle Seitenlängen gleich, daher muss nicht in Höhe in Länge des Vierecks unterschieden werden und die Formel zur Berechnung der Fläche ist einfach F = (Seitenlänge)² .
  • Flächeninhalt eines Rhombus: Bei einem Rhombus sind ebenfalls alle Seitenlängen gleich lang, nur liegen keine Winkel von 90° vor. Hier gibt es mehrere Formeln zur Berechnung der Fläche, eine Formel ist z.B. F = 0,5 · (Diagonale1) · (Diagonale2) (dies ist wohl die einfachste Formel). Es gibt aber auch die Formel F = Seitenlänge · Höhe (diese Formel ist etwas komplizierter, da die Höhe erstmal berechnet werden muss, die Höhe ist der Abstand zwischen zwei gegenüberliegenden Seiten). Es existiert aber noch eine weitere Formel, die manchmal verwendet wird. Dazu zeichnet man vom Schnittpunkt der Diagonalen einen Kreis mit dem Radius r so, dass der Kreisbogen die Seiten berührt. Mit Hilfe dieser Methode bestimmt sich die Formel F = 2 · Seitenlänge · Radius r. Wie man sieht ist es nun nicht mehr ganz so einfach, den Flächeninhalt eines Rhombus zu berechnen. Man sollte daher immer bestimmen, welche Größen gegeben sind und die entsprechende Formel auswählen.
  • Flächeninhalt eines Parallelogramms: Hier kann man ebenfalls die Formel F = Seitenlänge · Höhe verwenden. Dazu muss in einem Parallelogramm bestimmt werden, welche die richtigen Größen sind, denn es existieren im Parallelogramm zwei verschiedene Seitenlängen und daher auch zwei verschiedene Höhen. Eine davon ist leicht zu bestimmen, die andere etwas schwerer.

in unserem Beispiel ist nur die Höhe a der (kürzeste) Abstand zwischen den beiden gegenüberliegenden Seiten (a und c).
die Höhe b ist nicht der (kürzeste) Abstand zwischen den beiden gegenüberliegenden Seiten (b und d), da
sich die Höhe jeweils senkrecht (90°) zu den beiden gegenüberliegenden Seiten befinden muss. 
  • Flächeninhalt eines Rechtecks: Hier gilt ebenfalls die Formel F = Länge · Höhe, da es in einem Rechteck jeweils nur zwei unterschiedlich lange Seiten gibt (meist Seite a und b bzw. c und d), muss man zur Flächenberechnung nur die beiden unterschiedlich langen Seiten miteinander multiplizieren.
  • Flächeninhalt eines Trapezes: Hier gilt ebenfalls die Formel F = Länge · Höhe, mit der gleichen Problematik, wie bei der Flächenbestimmung beim Parallelogramm. Man muss immer die richtige Seite und die entsprechende Höhe auswählen. In nachfolgender Skizze wird dies gezeigt.

weiterführende Informationen auf Lernort-mint.de

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