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Gleichungen - Einführung

Allgemein:
Das Lösen von Gleichungssystemen und Ungleichungssystem ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften. Im Prinzip hat man immer zwei "mathematische Aussagen", die zueinander in Relation gesetzt werden. Ziel ist immer eine Lösungsmenge zu bestimmen, für die die mathematische Aussage gilt (Gleichung allgemein). 
 

Gleichungen - Eine Einführung:
Prinzipiell besteht eine Gleichung aus zwei "Seiten", einer linken und einer rechten Seite. Diese beiden Seiten werden durch ein "= (ist gleich)" bei Gleichungen und " > oder < (größer oder kleiner)" bei Ungleichungen verknüpft, eine Gleichung verknüpft also mathematisch zwei Seiten: 

z.B. 5 + 3 = 8.
Es handelt sich hier um eine ganz einfache Gleichung. Das "ist-gleich"-Zeichen verknüpft die beiden Seiten und lässt so mathematisch eine wahre Behauptung entstehen, denn 8 = 8. Zusammengefasst ist eine Gleichung eine Behauptung, dass zwei Terme, gleich sind. 

Die allermeisten Gleichungen sind ein wenig komplizierter, denn sie enthalten noch eine (oder mehrere) Variable(n). Ziel dieses Gleichungssystems ist es, eine Lösung für die Variable zu finden, so dass die Gleichung richtig ist, d.h. es gibt bei Gleichungen mit einer Variable eine "richtige" und eine "falsche" Behauptung".

z.B. 5 + x = 8
Es handelt sich hier um eine Gleichung mit einer Variablen (meistens wird die Variable mit x bezeichnet, kann aber jederzeit auch anders lauten). Setzt man z.B. für "x" den Wert 2 ein, so lautet die Gleichung 5 + 2 = 8, also 7 = 8 und erhält damit eine falsche Behauptung. Setzt man für "x" den Wert 3 ein, so lautet die Gleichung 5 + 3 = 8, also 8 = 8 und damit liegt eine wahre Behauptung vor.

Mit dem Begriff "Gleichung" sind die Begriffe "Definitionsmenge D" und "Lösungsmenge L" verbunden:

  • Definitionsmenge: alle Elemente, die für die Variable in die Gleichung eingesetzt werden dürfen, z.B. alle reellen Zahlen, alle positiven Zahlen, u.s.w
  • Lösungsmenge: alle Elemente der Definitionsmenge, damit die Gleichung eine wahre Aussage ist


Unterschied Gleichung - Funktion:
Für eine Gleichung (mit einer Variable) gibt es eine Lösungsmenge, für eine Funktion können unendlich viele x-Werte eingesetzt werden und man erhält jeweils einen y-Wert als Lösung, die Funktion beschreibt also einen Graphen im Koordinatensystem.
Der Unterschied zwischen einer Gleichung und einer Funktion ist also der, dass bei der Funktion einer Variablen (z.B. x) der Wert einer anderen Variablen (z.B y) zugeordnet wird (sie gibt also einen Zusammenhang an). Eine Gleichung hingegen ist eine Aussage, dass links und rechts vom Gleichheitszeichen das gleiche steht (die Gleichung gibt also einen Inhalt einer Lösungsmenge an).

z.B. 8 = 5 + x   (Gleichung) 
z.B. y = 5 + x   (Funktion)

Die Gleichung gibt einen Inhalt bzw. Lösungsmenge an, so dass beide Seiten gleich sind, so gilt für x = 3 die wahre Aussage, dass 8 gleich 8 ist.
Die Funktion hingegen gibt einen Zusammenhang zwischen x und y an. Setzt man z.B. für x den Wert 3 ein, erhält man für y den Wert 8 (hier entsteht zwar auch eine wahre Aussage wie bei der Gleichung), aber es wird zusätzlich ein Zusammenhang zwischen Variablen erzeugt, so wird z.B. bei  x = 3 der Variablen y der Wert 8 zugeordnet. bei x = 4 wird der y der Wert 9 zugeordnet. 


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