Das Lösen von Gleichungssystemen und Ungleichungssystem ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften. Im Prinzip hat man immer zwei “mathematische Aussagen”, die zueinander in Relation gesetzt werden. Ziel ist immer eine Lösungsmenge zu bestimmen, für die die mathematische Aussage gilt (Gleichung allgemein).
Prinzipiell besteht eine Gleichung aus zwei “Seiten”, einer linken und einer rechten Seite. Diese beiden Seiten werden durch ein “= (ist gleich)” bei Gleichungen und ” > oder < (größer oder kleiner)” bei Ungleichungen verknüpft, eine Gleichung verknüpft also mathematisch zwei Seiten:
z.B. 5 + 3 = 8.
Es handelt sich hier um eine ganz einfache Gleichung. Das “ist-gleich”-Zeichen verknüpft die beiden Seiten und lässt so mathematisch eine wahre Behauptung entstehen, denn 8 = 8. Zusammengefasst ist eine Gleichung eine Behauptung, dass zwei Terme, gleich sind.
Die allermeisten Gleichungen sind ein wenig komplizierter, denn sie enthalten noch eine (oder mehrere) Variable(n). Ziel dieses Gleichungssystems ist es, eine Lösung für die Variable zu finden, so dass die Gleichung richtig ist, d.h. es gibt bei Gleichungen mit einer Variable eine “richtige” und eine “falsche” Behauptung”.
z.B. 5 + x = 8
Es handelt sich hier um eine Gleichung mit einer Variablen (meistens wird die Variable mit x bezeichnet, kann aber jederzeit auch anders lauten). Setzt man z.B. für “x” den Wert 2 ein, so lautet die Gleichung 5 + 2 = 8, also 7 = 8 und erhält damit eine falsche Behauptung. Setzt man für “x” den Wert 3 ein, so lautet die Gleichung 5 + 3 = 8, also 8 = 8 und damit liegt eine wahre Behauptung vor.
Mit dem Begriff “Gleichung” sind die Begriffe “Definitionsmenge D” und “Lösungsmenge L” verbunden:
Für eine Gleichung (mit einer Variable) gibt es eine Lösungsmenge, für eine Funktion können unendlich viele x-Werte eingesetzt werden und man erhält jeweils einen y-Wert als Lösung, die Funktion beschreibt also einen Graphen im Koordinatensystem.
Der Unterschied zwischen einer Gleichung und einer Funktion ist also der, dass bei der Funktion einer Variablen (z.B. x) der Wert einer anderen Variablen (z.B y) zugeordnet wird (sie gibt also einen Zusammenhang an). Eine Gleichung hingegen ist eine Aussage, dass links und rechts vom Gleichheitszeichen das gleiche steht (die Gleichung gibt also einen Inhalt einer Lösungsmenge an).
z.B. 8 = 5 + x (Gleichung)
z.B. y = 5 + x (Funktion)
Die Gleichung gibt einen Inhalt bzw. Lösungsmenge an, so dass beide Seiten gleich sind, so gilt für x = 3 die wahre Aussage, dass 8 gleich 8 ist.
Die Funktion hingegen gibt einen Zusammenhang zwischen x und y an. Setzt man z.B. für x den Wert 3 ein, erhält man für y den Wert 8 (hier entsteht zwar auch eine wahre Aussage wie bei der Gleichung), aber es wird zusätzlich ein Zusammenhang zwischen Variablen erzeugt, so wird z.B. bei x = 3 der Variablen y der Wert 8 zugeordnet. bei x = 4 wird der y der Wert 9 zugeordnet.
Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, der aufzeigt, dass zwei Mengen gleich sind.
Eine Gleichung besteht aus mindestens zwei Ausdrücken, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind (z.B. 3x+2 = 8).
Eine Variable ist ein Symbol oder Buchstabe in einer Gleichung, der für einen beliebigen Wert steht. In der Gleichung 3x+2 = 8 ist x die Variable.
Eine Gleichung zu lösen bedeutet, den Wert oder die Werte zu finden, die die Variable einnehmen kann, um die Gleichheit wahr zu machen.
Die Lösungsmenge einer Gleichung ist die Sammlung aller Werte, die die Variable einnehmen kann, um die Gleichung zu erfüllen.
Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, bei der alle Variablen den Exponenten 1 haben. Ein Beispiel ist 3x + 2 = 0.
Lineare Gleichungen können durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division gelöst werden, um die Variable zu isolieren.
Eine Quadratgleichung ist eine Gleichung, in der die höchste Potenz der Variable 2 ist. Ein Beispiel ist x² + 3x – 4 = 0.
Eine Methode zur Lösung von Quadratgleichungen ist die quadratische Formel oder durch Ausklammern/Faktorisierung.
Wir überprüfen die Lösung einer Gleichung, indem wir den gefundenen Wert der Variable in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Wenn beide Seiten der Gleichung gleich sind, dann ist die Lösung korrekt.