Lösungsverfahren für Gleichungssysteme – Das Einsetzungsverfahren

Das Lösen von Gleichungssystemen und Ungleichungssystem ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften. Im Prinzip hat man immer zwei “mathematische Aussagen”, die zueinander in Relation gesetzt werden. Ziel ist immer eine Lösungsmenge zu bestimmen, für die die mathematische Aussage gilt (Gleichung allgemein).  Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es drei verschiedene Verfahren (je nach Anzahl an Variablen in der Gleichung wird ein Lösungsverfahren bevorzugt). Beim Bestimmen der Lösungsmenge einer Ungleichung wird ein ähnliches Lösungsverfahren verwendet, wie beim Lösen einer Gleichung. Allerdings mit einem großen Unterschied, so benötigt man für einige Ungleichungen Fallunterscheidungen. Meistverwendete Lösungsverfahren sind:

  • Äquivalenzumformung (für eine Variable, lineares Gleichungssystem),
  • Einsetzungsverfahren (für zwei Variablen, lineares Gleichungssystem),
  • Additionsverfahren (für zwei Variablen, lineares Gleichungssystem),
  • Gauß-Verfahren (für zwei und mehr Variablen, lineares Gleichungssystem) und
  • Quadratische Ergänzung (für eine Variable, quadratisches Gleichungssystem).

Einsetzungsverfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen

Einsetzungsverfahren (für zwei Variablen, lineares Gleichungssystem): Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer der Variablen (z.B. x) aufgelöst. Das Ergebnis wird in eine andere Gleichung eingesetzt und diese Gleichung wird wieder nach der anderen Variablen aufgelöst. Dieses Schema wird solange fortgeführt, bis alle Variablen gelöst sind. Das Einsetzungsverfahren ist aber nur für einfache Gleichungssysteme geeignet, wie z.B Gleichungssysteme mit nur zwei Variablen.

Wiederholung: lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen bedeutet, dass eine Gleichung mit zwei Unbekannten / Variablen (meist als “x” und “y” bezeichnet) vorliegt, die Variablen liegen dabei in der Gleichung mit “hoch 1” vor (kein x² oder x³).

Beispiel mit zwei gegebenen Gleichungen

Gegeben sind zwei Gleichungen (zum Lösen von 2 Variablen benötigt man mind. 2 Gleichungen):

Gleichung 1: x + 2y = 5
Gleichung 2: x + y = 3

1. Schritt: Man löst die Gleichung 1 nach einer der beiden Variablen auf, typischerweise nach x. Dazu bringen wir die Variable y auf die rechte Seite, indem man beide Seiten mit -2y erweitert.

x + 2y = 5                                / -2y
x + 2y – 2y = 5 – 2y
x = 5 – 2y

2. Schritt: Nachdem man eine Gleichung 1 erhalten hat, die nach x aufgelöst ist, setzt man dieses Ergebnis in Gleichung 2 ein und löst die Gleichung:

x + y = 3                        / Einsetzen x = 5 – 2y (aus Gleichung 1)
(5 – 2y) + y = 3              / Klammerausdruck auflösen
5 – 2y + y = 3                / Zusammenfassen
5 – y = 3                        /  Erweitern mit “+y” und “-3”
5 – y + y – 3 = 3 – 3 + y
2 = y

Auf diesem Weg erhält man eine Lösung für y. Diese Lösung wir nun in die Gleichung 1 eingesetzt und nach der Variablen “x” aufgelöst:

x + 2y = 5                 / Einsetzen y = 2 (aus Gleichung 2)
x + 2(2) = 5              / Klammerausdruck auflösen)
x + 4 = 5                  / Erweitern mit “-4”
x + 4 – 4 = 5 -4
x = 1

Somit erhält man als Lösung für die beiden Gleichungen x = 1 und y = 2.


Lösungsverfahren für Gleichungssysteme – Das Einsetzungsverfahren – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist das Einsetzungsverfahren?

Das Einsetzungsverfahren ist ein Lösungsverfahren für Gleichungssysteme, bei dem aus einer Gleichung eine Unbekannte isoliert und dann in die andere Gleichung eingesetzt wird.

2. Wann wird das Einsetzungsverfahren angewendet?

Das Einsetzungsverfahren wird insbesondere angewendet, wenn eine Gleichung in einem Gleichungssystem bereits nach einer Unbekannten aufgelöst ist.

3. Können mit dem Einsetzungsverfahren nur lineare Gleichungssysteme gelöst werden?

Nein, das Einsetzungsverfahren kann sowohl für lineare als auch für nichtlineare Gleichungssysteme verwendet werden.

4. In welchen Schritten wird das Einsetzungsverfahren durchgeführt?

Erstens wird eine der Gleichungen nach einer Unbekannten aufgelöst. Zweitens wird der erhaltene Ausdruck in die andere Gleichung eingesetzt. Drittens wird die resultierende Gleichung entsprechend gelöst. Abschließend wird die gefundene Lösung in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt, um die andere Unbekannte zu finden.

5. Wie sieht ein Beispiel für das Einsetzungsverfahren aus?

Ein Beispiel: Gegeben sind die Gleichungen x = y – 2 und y = 3x + 4. Die erste Gleichung wird in die zweite eingesetzt, was zu y = 3(y – 2) + 4 führt. Diese Gleichung wird gelöst, um y und danach x zu finden.

6. Was sind die Vorteile des Einsetzungsverfahrens?

Ein Vorteil des Einsetzungsverfahrens ist, dass es sehr einfach zu verstehen und anzuwenden ist, insbesondere wenn eine der Gleichungen bereits nach einer Unbekannten aufgelöst ist.

7. Was sind die Nachteile des Einsetzungsverfahrens?

Ein Nachteil des Einsetzungsverfahrens ist, dass es unpraktisch werden kann, wenn keine der Gleichungen bereits auf eine Unbekannte gelöst ist oder wenn das Gleichungssystem mehr als zwei Unbekannte enthält.

8. Wie unterscheidet sich das Einsetzungsverfahren vom Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren?

Anders als das Einsetzungsverfahren erfordern das Gleichsetzungs- und das Additionsverfahren, dass beide Gleichungen gleichzeitig verändert werden. Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen nach der gleichen Unbekannten aufgelöst und gleichgesetzt, während beim Additionsverfahren die Gleichungen aufaddiert oder subtrahiert werden, um eine Unbekannte zu eliminieren.

9. Können auch Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten mit dem Einsetzungsverfahren gelöst werden?

Ja, das Einsetzungsverfahren kann auch für Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten verwendet werden, allerdings wird der Rechenaufwand dann deutlich größer.

10. Was sollte bei der Durchführung des Einsetzungsverfahrens beachtet werden?

Es ist wichtig, sorgfältig zu arbeiten und die Rechenwege nachvollziehbar darzustellen. Außerdem sollte überprüft werden, ob die gefundenen Lösungen in die Gleichungen eingesetzt auch tatsächlich die Gleichungen erfüllen.