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Lösungsverfahren für Gleichungssysteme - Das Einsetzungsverfahren

Allgemein:
Das Lösen von Gleichungssystemen und Ungleichungssystem ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften. Im Prinzip hat man immer zwei "mathematische Aussagen", die zueinander in Relation gesetzt werden. Ziel ist immer eine Lösungsmenge zu bestimmen, für die die mathematische Aussage gilt (Gleichung allgemein).  Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es drei verschiedene Verfahren (je nach Anzahl an Variablen in der Gleichung wird ein Lösungsverfahren bevorzugt). Beim Bestimmen der Lösungsmenge einer Ungleichung wird ein ähnliches Lösungsverfahren verwendet, wie beim Lösen einer Gleichung. Allerdings mit einem großen Unterschied, so benötigt man für einige Ungleichungen Fallunterscheidungen. Meistverwendete Lösungsverfahren sind:
Äquivalenzumformung (für eine Variable, lineares Gleichungssystem),
Einsetzungsverfahren (für zwei Variablen, lineares Gleichungssystem),
Additionsverfahren (für zwei Variablen, lineares Gleichungssystem), 
Gauß-Verfahren (für zwei und mehr Variablen, lineares Gleichungssystem) und 
Quadratische Ergänzung (für eine Variable, quadratisches Gleichungssystem).
 

Das Einsetzungsverfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen:
Einsetzungsverfahren (für zwei Variablen, lineares Gleichungssystem): Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer der Variablen (z.B. x) aufgelöst. Das Ergebnis wird in eine andere Gleichung eingesetzt und diese Gleichung wird wieder nach der anderen Variablen aufgelöst. Dieses Schema wird solange fortgeführt, bis alle Variablen gelöst sind. Das Einsetzungsverfahren ist aber nur für einfache Gleichungssysteme egeeignet, wie z.B Gleichungssysteme mit nur zwei Variablen.

Wiederholung: lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen bedeutet, dass eine Gleichung mit zwei Unbekannten / Variablen (meist als "x" und "y" bezeichnet) vorliegt, die Variablen liegen dabei in der Gleichung mit "hoch 1" vor (kein x² oder x³).
 

Beispiel:
Gegeben sind zwei Gleichungen (zum Lösen von 2 Variablen benötigt man mind. 2 Gleichungen):

Gleichung 1: x + 2y = 5
Gleichung 2: x + y = 3

1. Schritt: Man löst die Gleichung 1 nach einer der beiden Variablen auf, typischerweise nach x. Dazu bringen wir die Variable y auf die rechte Seite, indem man beide Seiten mit -2y erweitert.

                                                                    x + 2y = 5                                / -2y
                                                                    x + 2y - 2y = 5 - 2y
                                                                    x = 5 - 2y

2. Schritt: Nachdem man eine Gleichung 1 erhalten hat, die nach x aufgelöst ist, setzt man dieses Ergebnis in Gleichung 2 ein und löst die Gleichung:

                                                x + y = 3                        / Einsetzen x = 5 - 2y (aus Gleichung 1)
                                                (5 - 2y) + y = 3              / Klammerausdruck auflösen
                                                5 - 2y + y = 3                / Zusammenfassen
                                                5 - y = 3                        /  Erweitern mit "+y" und "-3"
                                                5 - y + y - 3 = 3 - 3 + y 
                                                2 = y

Auf diesem Weg erhält man eine Lösung für y. Diese Lösung wir nun in die Gleichung 1 eingesetzt und nach der Variabeln "x" aufgelöst:
     
                                                x + 2y = 5                 / Einsetzen y = 2 (aus Gleichung 2)
                                                x + 2(2) = 5              / Klammerausdruck auflösen)
                                                x + 4 = 5                  / Erweitern mit "-4"
                                                x + 4 - 4 = 5 -4        
                                                x = 1

Somit erhält man als Lösung für die beiden Gleichungen x = 1 und y = 2.
 

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