Auflistung von Lösungsverfahren für Gleichungssysteme

Das Lösen von Gleichungssystemen und Ungleichungssystem ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften. Im Prinzip hat man immer zwei “mathematische Aussagen”, die zueinander in Relation gesetzt werden. Ziel ist immer eine Lösungsmenge zu bestimmen, für die die mathematische Aussage gilt (Gleichung allgemein).

Nachfolgend werden einige Lösungsverfahren für Gleichungssysteme (bzw. Ungleichungen) vorgestellt, die in den nächsten Kapiteln ausführlich erläutert werden.

Lösungsverfahren von Gleichungssystemen

Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es drei verschiedene Verfahren (je nach Anzahl an Variablen in der Gleichung wird ein Lösungsverfahren bevorzugt). Beim Bestimmen der Lösungsmenge einer Ungleichung wird ein ähnliches Lösungsverfahren verwendet, wie beim Lösen einer Gleichung. Allerdings mit einem großen Unterschied, so benötigt man für einige Ungleichungen Fallunterscheidungen.

Auflistung der wichtigsten Verfahren

Nachfolgend sind die wichtigsten Lösungsverfahren aufgelistet:

  • Äquivalenzumformung (für eine Variable, lineares Gleichungssystem): Die Äquivalenzumformung einer Gleichung besteht darin, die linke und die rechte Seite der Gleichung auf gleiche Weise abzuändern, so dass auf der einen Seite die Variable steht und auf der anderen Seite ein Wert.
  • Einsetzungsverfahren (für zwei Variablen, lineares Gleichungssystem): Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer der Variablen (z.B. x) aufgelöst. Das Ergebnis wird in eine andere Gleichung eingesetzt und diese Gleichung wird wieder nach der anderen Variablen aufgelöst. Dieses Schema wird solange fortgeführt, bis alle Variablen gelöst sind.
  • Additionsverfahren (für zwei Variablen, lineares Gleichungssystem): Beim Additionsverfahren (auch Eliminationsverfahren genannt) wird durch Addition zweier Gleichungen eine Variable heraus gekürzt und kann so nach der anderen Variablen lösen.
  • Gauß-Verfahren (für zwei und mehr Variablen, lineares Gleichungssystem): Das Gauß-Verfahren besteht aus einer mehrfachen Wiederholung des Additionsverfahrens.
  • Quadratische Ergänzung (für eine Variable, quadratisches Gleichungssystem): Dabei wird die quadratische Gleichung so umgeformt, dass diese Gleichung mithilfe einer binomischen Formel wiedergegeben werden kann.

Auflistung von Lösungsverfahren für Gleichungssysteme – Testfragen/-aufgaben

1. Was versteht man unter einem Gleichungssystem?

Ein Gleichungssystem ist eine Sammlung von Gleichungen, die gleichzeitig gelöst werden müssen.

2. Welche Arten von Gleichungssystemen gibt es hauptsächlich?

Zu den Haupttypen von Gleichungssystemen gehören lineare Gleichungssysteme und nichtlineare Gleichungssysteme.

3. Was ist das Additionsverfahren zum Lösen von Gleichungssystemen?

Das Additionsverfahren ist eine Methode zum Lösen von Gleichungssystemen, bei der die Gleichungen addiert oder subtrahiert werden, um eine oder mehrere Unbekannte zu eliminieren.

4. Was ist das Substitutionsverfahren beim Lösen von Gleichungssystemen?

Das Substitutionsverfahren ist eine Methode zum Lösen von Gleichungssystemen, bei der eine Gleichung nach einer Unbekannten aufgelöst und dann in die andere Gleichung eingesetzt wird.

5. Was ist das Gleichsetzungsverfahren zum Lösen von Gleichungssystemen?

Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode zum Lösen von Gleichungssystemen, bei der beide Gleichungen nach derselben Variable umgestellt und dann gleichgesetzt werden.

6. Wie funktioniert das Einsetzungsverfahren beim Lösen von Gleichungssystemen?

Beim Einsetzungsverfahren wird eine der beiden Gleichungen in eine Variable umgestellt und der erhaltene Ausdruck in die zweite Gleichung eingesetzt.

7. Was ist das Matrizenverfahren zur Lösung von Gleichungssystemen?

Das Matrizenverfahren ist eine Methode zum Lösen von Gleichungssystemen, bei der die Koeffizienten der Gleichungen in einer Matrix angeordnet werden und dann bestimmte Rechenoperationen durchgeführt werden.

8. Was bedeutet es, wenn ein Gleichungssystem keine Lösung hat?

Ein Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn es keinen Satz von Zahlen gibt, der alle Gleichungen des Systems erfüllt.

9. Was bedeutet es, wenn ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat?

Ein Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, wenn es eine unendliche Anzahl von Zahlenkombinationen gibt, die alle Gleichungen des Systems erfüllen.

10. Kann ein Gleichungssystem mehr als eine eindeutige Lösung haben?

Im Normalfall hat ein Gleichungssystem entweder eine eindeutige Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Es kann nicht mehr als eine eindeutige Lösung haben.

Autor: , Letzte Aktualisierung: 27. Juli 2023