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Lösung einer Gleichung mit einer Variablen (Äquivalenzumformung)

Allgemein:
Wie schon der Begriff "Gleichung mit einer Variablen" verdeutlicht, soll eine Gleichung mit einer Unbekannten (Variablen) gelöst werden. Diese Unbekannte wird meistens "x" genannt und Ziel ist es nun, für x eine Zahl zu erhalten. Im folgeden wird nur ein lineares Gleichungssystem mit einer Variablen betrachtet (dieses Lösungsverfahren heisst Äquivalenzumformung).
 

Beispiel:
Alleine schon an diesem Besipiel merkt man, dass Gleichungssystem mit Unbekannten in der Natur ziemlich oft vorkommen. Man möchte einen bestimmten pH-Wert eines Systems einstellen (Anzahl an H+-Ionen). Beispiel: Man hat 100 H+-Ionen in einem Reaktionsgefäß und möchte durch Zugabe weiterer H+-Ionen (Anzahl x) erreichen, dass man insgesamt 1.000 H+-Ionen im Reaktionsgefäß hat.

 100·H+  +   x·H+ = 1.000·H+

Lassen wir nun einmal die "Chemie" beseite und beschäftigen und nur mit der Mathematik, dann erhalten wir folgendes Gleichungssystem: 100 + x = 1.000.

Zum Lösen der Gleichung, muss diese nach x aufgelöst wird. Um dies durchzuführen, müssen sogenannte Äquivalenzumformungen durchgeführt werden. Dies Gleichung wird nun so umgeformt, dass "x" auf der einen Seite der Gleichung steht und eine Zahl bzw. mehrere Zahlen auf der anderen Seite stehen (Wichtig: Auf jeder Seite der Gleichung muss der gleiche Wert addiert bzw. subtrahiert werden). Dazu müssen wir hier im Beispiel auf jeder Seite 100 Abziehen. Dann erhalten wir:  100 + x - 100 = 1.000 - 100.
Als Lösung erhalten wir x = 900.
Nun wüssten wir also, dass wir 900 H+-Ionen hinzufügen müssten.

Hat man eine Gleichung aber nicht in Form einer Addition oder Subtraktion vorliegen, sondern eine Multiplikation oder Division muss man ein ähnliches Prinzip anweden.
Bei der obigen (Additions)Gleichung mussten wir mit "-100" auf beiden Seiten erweitern, um die +100 auf der rechten Seite zu entfernen. Bei einer Multiplikation funktioniert das ähnlich, will ich beispielsweise ein "2·" entfernen, muss ich beide Seiten mit ":2" erweitern.

Beispiel: 2·x = 6, nun wird auf beiden Seiten mit ":2" erweitert, dann erhält man schließlich 2·x:2 = 6:2 und man erhält als Ergebnis x = 3.

weitere Bespiele:
5·x = 10  um die "5·" wegzubekommen, teilen wir beide Seiten durch 5 und erhalten x = 2

Man kann aber auch beide Varianten miteinander kombinieren:
5·x + 2 = 12  um erst einmal die "+2" auf der rechten Seite zu entfernen, erweitern wir beide Seiten mit "-2") dann erhalten wir 5·x = 10 und können anschließen die "5·" entfernen, indem wir beide Seiten durch 5 teilen und erhalten als Ergebnis x = 2.
 

Zu Beachten:
Grundsätzlich gilt (sofern in dem Gleichungssystem eine Klammersetzung erfolgt):  Klammer vor allen anderen Rechenoperationen, Hochzahlen bzw. Potenzen ("²" oder "³" u.s.w ) sind höherrangig als Punktzeichen ("·" Multiplikation bzw ":" Division) und diese wiederrum haben einen Vorrang gegenüber Punktzeichen 
 

Wichtig:

  • Das Quadrieren beider Seiten einer Gleichung ist keine Äquivalenzumformung.
  • Ebenfalls ist das Multiplizieren beider Seiten einer Gleichung mit Null keine Äquivalenzumformung, sondern erzeugt nur die mathematische Aussage 0 = 0


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