Jedes naturwissenschaftliche Fach hat seine “eigene” Sprachweise. So sprechen wir in der Chemie manchmal salopp von unendlichen schnellen Reaktionen (z.B. Explosionsreaktionen) oder von unendlichen langsamen Reaktionen (also, Reaktionen die über einen Zeitraum von Wochen nicht sichtbar ablaufen). Den Begriff “unendlich” eine “objektive Bedeutung zu geben, ist also nicht nur eine Aufgabe der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften. Denn sonst wird der Begriff “unendlich” auch immer ein subjektiver Begriff bleiben.
Jeder von uns benutzt den Begriff “unendlich”, sei es in der Schule, aber auch im Alltag. Dies macht es auch so schwierig, den Begriff “unendlich” zu definieren.Wie wir aus dem Kapitel “Zahlenmengen” kennen, gibt es eine “nie endende” (also unendliche) Anzahl an natürlichen Zahlen gibt. Wir können jede beliebige Zahl um eine Einheit “erhöhen”.Daher gibt es in diesem Sinne auch keine größte Zahl.
Und dennoch wird der Begriff “unendlich” immer wieder verwendet. 1 Kg Wasser enthält eine so große Anzahl an Wassermolekülen, dass wir (mit einem Wort) sagen, “unendlich” viele Wassermoleküle. Was aber machen wir, wenn wir von dem 1 Kg Wasser 100 g abziehen? Haben wir denn immer noch unendlich viele Wassermoleküle? Was ist das Ergebnis der Subtraktion “unendlich” minus “unendlich”? Auch wieder unendlich?
Bevor wir uns näher damit befassen, kurz zur mathematischen Schreibweise: Ist eine Variable oder ein Körper, der wir beschreiben, so unendlich, so kennzeichnen wir dies mit “∞” (bzw. “+∞” und “-∞”).
Warum es in der “Realität” keine “Unendlichkeit” gibt, lässt sich auch anhand der Geschichte aus der Antike von Achilles und der Schildkröte zeigen. Die Schildkröte bewegt sich viel langsamer, als ein menschlicher Läufer. Daher wurde der Schildkröte bei dem Wettrennen mit Achilles ein Vorsprung gegeben. Würden wir die Gesamtstrecke nicht als “Ganzes” sehen (und mit einer “Größe” beschreiben, z.B. 1.000 m), sondern als eine unendliche Anzahl von vielen kleinen Strecken (z.B. eine (Teil-)Strecke aus 1 mm), so würde das zu dem berühmten Paradoxon der Antike führen:
Beide “Läufer” (die Schildkröte und Achilles) starten zum gleichen Zeitpunkt, allerdings bei unterschiedlichen Positionen auf der Strecke. Nach einer gewissen Zeit hat Achilles die Position erreicht, an der die Schildkröte gestartet ist. Allerdings befindet sich zu diesem Zeitpunkt des Wettlaufs die Schildkröte nicht mehr an dieser Position, sondern ein Stück weiter. Nun dauert es wieder einen bestimmten Zeitraum, bis Achilles diesen Punkt erreicht hat, allerdings befindet sich die Schildkröte nicht mehr an diesem Ort, sondern hat wieder ein bestimmtes Stück der Strecke zurückgelegt. Diesen “Vorgang” könnte man nun unendlich weiterführen, mit dem Ergebnis, dass der menschliche Läufer die Schildkröte niemals einholen wird, egal wie lange die Strecke ist.
Daher sollte im Alltag, aber auch in der Mathematik (wie auch anderen Naturwissenschaften) der Begriff “unendlich” mit “Bedacht” gewählt werden. Der Begriff “unendlich” wird/sollte (korrekterweise) bei der Beschreibung von Grenzwerten bei Folgen und Reihen verwendet werden. Und hier gibt es spezielle Vorschriften, um den Begriff “unendlich” nicht zu einem subjektiven Begriff “abzuwerten”.
Unendlich in der Mathematik bedeutet, dass ein bestimmter Wert oder eine bestimmte Größe keine Grenze hat. Er kann nicht gezählt oder nicht gemessen werden, weil er nie endet.
Das Symbol für Unendlich ist eine liegende 8 und wird „Lemniskate“ genannt.
Eine unendliche Reihe ist eine Summe aus unendlich vielen Termen. Sie kann trotzdem einen endlichen Wert haben oder gegen Unendlich gehen.
Ein unendlicher Dezimalbruch ist eine Dezimalzahl, die nicht endet und nicht periodisch ist, wie zum Beispiel die Zahl Pi.
Wenn wir sagen, dass das Universum unendlich ist, meinen wir, dass es sich über eine unbegrenzte Distanz erstreckt und es kein Ende oder Ränder gibt.
Ja, zwei unendliche Mengen können die gleiche Anzahl an Elementen haben. Dieses Konzept wird als “gleiche Mächtigkeit” bezeichnet. Zum Beispiel haben die Menge aller natürlichen Zahlen und die Menge aller geraden Zahlen die gleiche Mächtigkeit, obwohl die eine Menge offensichtlich Teilmenge der anderen ist.
Wenn eine Funktion gegen Unendlich strebt, bedeutet dies, dass der Wert der Funktion immer größer wird, je mehr wir uns entlang der x-Achse in eine bestimmte Richtung bewegen.
Ja, positiv Unendlich bezeichnet eine Zahl, die größer ist als jede andere gegebene Zahl. Negativ Unendlich hingegen bezeichnet eine Zahl, die kleiner ist als jede andere gegebene Zahl.
Nein, Unendlichkeit kann nicht gemessen werden, weil es nach Definition keine Grenze oder Begrenzung gibt.
Die Division einer beliebigen Zahl durch Null ergibt Unendlich oder nicht definiert in der Mathematik, da es keine Zahl gibt, die man mit Null multiplizieren kann, um eine andere Zahl als Null zu bekommen.