Partielle Integration – Rechenoperationen in der Integralrechnung

Im Allgemeinen ist die Integralrechnung die Umkehrung der Differenzialrechnung (Integration ist die Umkehr der Ableitung): Der Zusammenhang zwischen Integral (wird als Stammfunktion F(x) bezeichnet) und “Ableitung” f(x) lautet: F(x) + C = ∫ f(x) dx und  F'(x) = f(x).

Zur Berechnung von Integralen gibt es verschiedene Rechenoperationen. Eine dieser Integration-Rechenoperationen ist die sogenannte partielle Integration. Die partielle Integration ist eine Methode zur Berechnung von Integralen in der Regel, wenn es sich bei der grundlegenden Funktion um ein Produkt handelt, also f(x) = u(x) · v(x)). Dabei wendet man die partielle Integration, wenn ein Term bzw. Faktor (des Produktes) einfach zu integrieren ist und der zweite Term nicht einfach zu integrieren ist.

Die partielle Integration

Wie eingangs erwähnt, wird die partielle Integration bei einer Funktion bzw. einem Produkt verwendet. Mithilfe der partiellen Integration lassen sich Funktionen integrieren, die ein Produkt zweier Funktionen sind. Dabei ist ein Term (also ein Faktor) des Produkts bzw. dessen Integral / Stammfunktion bekannt.

Die Formel der partiellen Integration lassen sich aus der Produktregel der Differenzialrechnung herleiten:

f(x) = u(x)·v(x)

f'(x) = (u(x)· v(x))’ = u'(x)·v(x) + u(x) v'(x)   (auf beiden Seiten ziehen wir [u(x)·v'(x)] ab)

(u(x)· v(x))’ – u(x)·v'(x)   = u'(x)·v(x) (nun integrieren wir)

u(x)· v(x) – ∫ u(x)·v'(x) dx = ∫ u'(x) v(x) dx

Hieraus leitet sich die Formel der partiellen Integration ab

∫ u'(x)·v(x) dx = u(x)·v(x) – ∫ u(x)·v'(x) dx

Die partielle Integration an einem Beispiel

Beispiel:  f(x) = x·ln(x), gesucht ist die Stammfunktion F(x) = ∫ x·ln(x) dx

• 1. Schritt: Wir bestimmen zuerst u'(x) und v(x). Dazu wählen wir u'(x) = x und v(x) = ln(x). Dies in dem Sinne, da wir u'(x) = “x” relativ einfach integrieren können.
• 2. Schritt: Wir benötigen noch die Stammfunktion von u'(x) = x. Diese Stammfunktion u(x) lautet: 1/2· x²
• 3. Schritt: Wir benötigen noch die Ableitung von v(x) = ln(x). Die Ableitung v'(x) lautet: 1/x
• 4. Schritt:  Wir setzen nun diese Terme in die Formel der partiellen Integration ein.

F(x) = ∫ x·ln(x) dx = 1/2·x² · ln(x) –  ∫ 1/2·x²  ·1/x dx = 1/x² ·ln(x) – ∫ 1/2·x dx

• 5. Schritt: Lösung des Integrals ∫ 1/2x dx = 1/4 x²
• 6. Schritt: Hinzufügen der sogenannten Integrationskonstante C

Partielle Integration – Rechenoperationen in der Integralrechnung – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist die allgemeine Formel für die partielle Integration?

Die allgemeine Formel lautet: ∫udv = uv – ∫vdu.

2. Was bedeutet es, eine Funktion zu “integrieren”?

Die Integration ist eine Reihe von mathematischen Verfahren, die verwendet werden, um die Fläche unter der Kurve einer Funktion, das Volumen von Objekten, die Arbeit und andere Konzepte in Physik und Mathematik zu berechnen.

3. Woran erkennt man, dass man die Methode der partiellen Integration anwenden soll?

Partielle Integration wird oft angewendet, wenn das Integral des Produkts von zwei Funktionen berechnet wird und eine dieser Funktionen leicht zu integrieren, die andere leicht zu differenzieren ist.

4. Welche Wahl würde man treffen, um die Funktionen u und dv in der partiellen Integration festzulegen?

Generell würde man versuchen, u so zu wählen, dass es einfach zu differenzieren ist, und die Funktion dv so zu wählen, dass sie einfach zu integrieren ist.

5. Wozu wird die partielle Integration hauptsächlich angewendet?

Partielle Integration wird hauptsächlich verwendet, um Integrale zu berechnen, bei denen der Integrand das Produkt von zwei Funktionen ist, von denen eine leicht zu integrieren, die andere leicht zu differenzieren ist.

6. Kann man die partielle Integration bei jedem Integral anwenden?

Nein, die Anwendung der partiellen Integration setzt voraus, dass das Integral ein Produkt von zwei Funktionen ist.

7. Welcher ist der erste Schritt, wenn man die Methode der partiellen Integration anwendet?

Der erste Schritt besteht darin, den Integranden in ein Produkt zweier Funktionen zu zerlegen, die u und dv genannt werden.

8. Wie berechnet man du, wenn man die Methode der partiellen Integration anwendet?

Um du zu berechnen, nimmt man die Ableitung der Funktion u.

9. Wie berechnet man v, wenn man die Methode der partiellen Integration anwendet?

Um v zu berechnen, nimmt man das Integral der Funktion dv.

10. Wie lautet die Methode der partiellen Integration auf Englisch?

Die partielle Integration wird auf Englisch “Integration by Parts” genannt.