Die Potenzrechnung (für natürliche Zahlen)

Die Prozentrechnung ist nicht nur eine wichtige Rechenoperation in der Mathematik, sondern auch eine wichtige mathematische Größe im Alltag. Potenzen dienen dazu, ein Produkt von gleichen Zahlen vereinfacht darzustellen (z. B. 5 ·5 ·5 = 5³). Im Alltag und in den Naturwissenschaften hat man meist nicht nur eine Potenz vorliegen, sondern beispielsweise vergleicht mehrere Potenzen. So können Potenzen addiert, subtrahiert und nochmals potenziert werden. Diese Rechenvorschriften der Potenzrechnung werden nun in diesem Kapitel dargestellt.

Potenzrechnung – eine grundlegende mathematische Rechenoperation

Ein Term der Form “aⁿ” wird als Potenz bezeichnet und bedeutet, dass die sogenannte Basis “a” n-mal (“n” wird als Exponent bezeichnet) mit sich selbst multipliziert wird.Die Potenz ist eine verkürzte Schreibweise für eine n-fache Multiplikation (für a · a · a….·a, n-mal hintereinander)

Potenz aⁿ = a · a · a · a · a ……

Die math. Form “aⁿ” wird gesprochen als “a hoch x”. “a” ist dabei die Basis (auch als Grundwert bezeichnet) und “n” der Exponent (auch als Hochzahl bezeichnet). Je nach der Zugehörigkeit des Exponenten (“natürliche Zahl”, “ganze Zahl” und “rationale Zahl”) gibt es unterschiedliche “Rechenvorschriften” in der Potenzrechnung. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns nur mit Potenzen, die eine “natürliche Zahl” als Exponenten aufweisen. Bevor wir nun die Rechenvorschriften für die Potenzrechnung betrachten, müssen wir noch zwei “Fälle” definieren: Exponent 0 und 1.

• Exponent 0:  Jede Basis hoch Null ist Eins (a⁰ = 1)
• Exponent 1:  Jede Basis hoch Eins ist die Basis selbst (a¹ = a)

Rechenregeln der Potenzrechnung

Im Folgenden werden die Rechenregeln dargestellt:

Addition und Subtraktion von Potenzen:

• x·aⁿ + y·aⁿ = (x + y) · aⁿ      bzw.    x·aⁿ – y·aⁿ = (x – y) · aⁿ   

Bei der Addition und Subtraktion von Potenzen können nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten addiert bzw. subtrahiert werden

Multiplikation und Division von Potenzen: 

Bei diesen Rechenoperationen müssen zwei Fälle unterschieden werden, einmal die Multiplikation/Division von Potenzen mit gleicher Basis und einer Potenz mit gleichem Exponenten:

1. Multiplikation/Division von Potenzen mit gleicher Basis

• aⁿ · a^m =  a^{(n + m)}  (1. Potenzgesetz)
• aⁿ : a^m  =  a^{(n – m)}   (2. Potenzgesetz)

2. Multiplikation/Division von Potenzen mit gleichem Exponenten

• aⁿ · bⁿ =  (a · b)ⁿ   (3. Potenzgesetz)
• aⁿ : bⁿ =  (a : b)ⁿ    (4. Potenzgesetz)

Potenzieren von Potenzen:

• (aⁿ )^m =  a^(n·m)        (5. Potenzgesetz)

Beispiele zu den Potenzregeln:

• 2² · 3²  : Wir haben eine Multiplikation zweier Potenzen mit gleichem Exponenten: 2² · 3²  = (2 · 3)² = 6² = 36  (Testen wir das nun: 2² · 3² = 4 · 9 = 36)

• 2³ : 2²  : Wir haben eine Division zweier Potenzen mit gleicher Basis: 2³ : 2²  =  2^(3-2)  = 2¹ = 2

Die Potenzrechnung (für natürliche Zahlen) – Testfragen/-aufgaben

1. Was wird durch das Symbol “^” in der Potenzrechnung dargestellt?

Das Symbol “^” in der Potenzrechnung stellt die Operation der Potenzierung dar. Wenn wir zum Beispiel 3^2 schreiben, bedeutet das 3 hoch 2, also 3 * 3.

2. Welches ist die Basis und welches ist der Exponent in der Potenz 4^5?

In der Potenz 4^5 ist 4 die Basis und 5 der Exponent. Hierbei bedeutet es, dass die Basis 4, fünf Mal mit sich selbst multipliziert wird.

3. Wie lautet das Ergebnis von 2^3?

Das Ergebnis von 2^3 ist 8. Denn es bedeutet, dass die Zahl 2 dreimal mit sich selbst multipliziert wird (2*2*2).

4. Wenn a^b = a^c, was sagt dies über die Werte von b und c aus?

Wenn a^b = a^c, dann bedeutet das, dass die Werte von b und c gleich sind.

5. Wie lautet das Potenzgesetz a^m * a^n?

Das Potenzgesetz a^m * a^n lautet: a^(m+n). Man addiert also die Exponenten, wenn die Basen gleich sind und multipliziert werden.

6. Wie lautet das Ergebnis von 10^0?

Das Ergebnis von 10^0 ist 1. Jede Potenz mit Ausnahme von 0 mit dem Exponenten 0 ist immer 1.

7. Wie definiert man das Ergebnis von a^-n?

Das Ergebnis von a^-n ist gleich 1/a^n. Es handelt sich hierbei um den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz.

8. Wie kann man 2^4 * 2^-2 ohne Rechnung lösen?

Gemäß der Potenzrechenregel addieren wir die Exponenten: 4 + (-2). Somit ist 2^4 * 2^-2 gleich 2^2, was 4 entspricht.

9. Wie lautet das Potenzgesetz (a^m)^n?

Das Potenzgesetz (a^m)^n lautet: a^(m*n). Man multipliziert also die Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird.

10. Was ist eine Quadratzahl und nenne ein Beispiel dafür?

Eine Quadratzahl ist das Ergebnis, wenn eine natürliche Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Ein Beispiel dafür ist 4, da 2*2 = 4.