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Hypothesentest in der Stochastik

Allgemein:
Der Hypothesentest ist ein mathematisches Verfahren, um die Gültigkeit bzw. Ungültigkeit einer (statistischen) Aussage zu belegen. Das Ziel ist dabei zu prüfen, ob eine vermutete Wahrscheinlichkeit, die Hypothese, als wahr angenommen werden kann oder ob sie verworfen werden muss. Der Hypothesentest funktioniert grob unterteilt folgendermaßen:

  • Zuerst wird eine Hypothese (Nullhypothese H0) aufgestellt.
  • Dann bestimmt man ein Signifikanzniveau (Irrtumswahrscheinlichkeit) und bestimmt damit auch den Ablehnungsbereich.
  • Im Anschluss führt man eine Stichprobe durch
  • Zuletzt wird anhand der vorher Signifikanzniveau und Ablehnungsbereich die Hypothese verwerfen oder auch nicht verwerfen.


Der Hypothesentest:
Zuerst einmal zur Klärung, es gibt drei "Arten" von Hypothesentests, nämlich den zweiseitigen Hypothesentest und einseitigen Hypothesentest. Einseitige Hypothesentests sind der linksseitige (der Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt links vom Annahmebereich) und der rechtsseitige (der Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt rechts vom Annahmebereich) Hypothesentest. Beim zweiseitigen Hypothesentest wird der Ablehnungsbereich zweigeteilt und liegt teilweise links, teilweise rechts vom Annahmebereich. Erwähnt sei noch, dass die Begriffe Signifikanzniveau und Irrtumswahrscheinlichkeit gleich sind.
In der Regel verwendet man die einseitigen Tests, denn es liegt eigentlich immer eine Vermutung, in welcher Richtung die Nullhypothese "abweichen" könnte.

Beispiel:
Zweiseitiger Test:
H0: Die Notendurchschnitt von Prüfungen in Englisch und Mathematik ist gleich.
H1: Die Notendurchschnitt von Mathematik ist anders (also besser oder schlechter) als der von Englisch. 

Einseitiger Test:
H0: Die Notendurchschnitt von Prüfungen in Englisch und Mathematik ist gleich.
H1: Die Notendurchschnitt von Mathematik ist besser als der von Englisch (rechtsseitiger Test)
oder
H1: Die Notendurchschnitt von Mathematik ist schlechter als der von Englisch (linksseitiger Test)
 

Aufbau des Hypothesentest:
Zuerst einmal wird die sog. Nullhypothese H0 aufgestellt. Dabei handelt es sich um die behauptete Wahrscheinlichkeit, also der Wahrscheinlichkeit, die in der entsprechenden Aufgabe vorliegt (z.B. bei einem Münzwurf erscheint "Zahl" mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 (50%)). 
Anschließend muss bestimmt werden, welcher Hypothesentest vorliegt, ein linksseitiger, ein rechtsseitiger oder ein beidseitiger Hypothesentest. Die Frage lässt sich mit der These "was will ich überhaupt beweisen" lösen (man testet etwas um, etwas zeigen zu können, z.B. dass die Wahrscheinlichkeit höher als 0,5 liegt, die Wahrscheinlichkeit kleiner als 0,5 ist oder die Wahrscheinlichkeit nicht 0,5 ist).

Tip: behaupte ich beispielsweise, dass die Wahrscheinlichkeit (H1) größer als 0,5 ist, schreibt man H1 > 0,5, dabei kann man das Größerzeichen (>) auch als Pfeilspitze sehen, die hierbei nach rechts zeigt. Man kann so (über eine Eselsbrücke) ableiten, dass es sich um einen rechtsseitigen Hypothesentest handelt.
Somit hat man bereits die Nullhypothese H0 und die Alternativhypothese H1 aufgestellt und die Art des Hypothesentest bestimmt. 

Als nächstes bestimmt man das Signifikanzniveau, den Annahmebereich und den Ablehnungsbereich. Dazu benötigt man die Anzahl bzw. Umfang der Stichprobe.
Festlegung des Signifikanzniveaus, bedeutet, man gibt einem Fehler an, dem man zugesteht, z.B. 5%. 

Ist kein Signifikanzniveau angegeben (es wird kein Fehler zugestanden), ist die Bestimmung des Annahmebereichs und des Ablehnungsbereiches relativ einfach. Man multipliziert die Wahrscheinlichkeit mit dem Umfang der Stichprobe, alle Zahlen unter (bzw. mit dieser Zahl) diesem Wert sind der Annahmebereich, und Zahlen über diesem Wert bilden den Ablehnungsbereich.

Hat man ein Signifikanzniveau, so muss man den Annahme- und Ablehnungsbereich berechnen, dazu benötigt man eine Tabelle mit der Binomialverteilung. Dadurch ändern sich Annahme- und Ablehnungsbereich. Nimmt man beispielsweise ein Signifikanzniveau (oder auch Irrtumswahrscheinlichkeit) von 5% an, so gilt SN < 0,05. Nun muss aber noch berücksichtigt werden, ob es sich um einem rechtsseitigen oder linksseiten Hypothesentest handelt. Bei einem linksseitingen Hypothesentest liegt der Ablehnungsbereich links und der Annahmebereich rechts, bei einem rechtsseitigen Hypothesentest liegt der Annahmebereich links und der Ablehnungsbereich rechts.

Bei einem linksseitigen Hypothesentest benötigt man die Umwandlung 1-P(x) nicht, man kann direkt mit dem Wert des Signifikanzniveaus (in diesem Fall mit 0,05) rechnen, bzw. im Tabellenwerk nachsehen. 
 

Zuletzt wird das Ergebnis aus der Stichprobe mit dem Annahmebereich bzw. Ablehnungsbereich vergleichen und abgeleitet, ob die Nullhypothese verworfen werden muss oder nicht.
 
 

Beispiel:
Ein Glühbirnenhersteller garantiert, dass der Anteil an defekten Glühbirnen höchstens 10% beträgt. Der Käufer findet unter 100 Glühbirnen 15 defekt Glühbirnen. Kann der Käufer auf einem Signifikanzniveau vor 5% (d.h. es wird ein Fehler von 5% zugestanden, also mit 95% Sicherheit) daraus schließen, dass der Anteil an defekten Glühbirnen größer als 10% ist?

  1. Aufstellen der Nullhypothese H0: Die behauptete Wahrscheinlichkeit ist 10%, also 0,1. Da in der Aufgabe "höchstens" steht, gilt H0 < 0,1
  2. Aufstellen der Alternativhypothese H1: Ist das, was der Käufer zeigen will, nämlich dass die Wahrscheinlichkeit einer defekten Glühbirne größer als 10% ist, also H1 > 0,1.
  3. Bestimmung der Art des Hypothesentests: Die Spitze bei H1 > 0,1 zeigt nach rechts, also ein rechtsseitiger Hypothesentest.
  4. Bestimmung des Annahme- und Ablehnungsbereiches: Dazu benötigt man ein Tabellenwerk, in dem die Binomialverteilung ist (dazu sieht man unter p = 0,1 und n = 100, der Wert für P(X) soll größer als 0,95 sein). Somit findet sich in dem Tabellenwerk K = 15 und x = 0,9601. Damit erhält man den Annahmebereich [0; 15] und der Ablehnungsbereich [16; 100].
  5. Vergleich mit der Stichprobe: Es wurden bei 100 Glühbirnen 15 defekte gefunden. 15 defekte Glühbirnen liegen aber noch im Annahmebereich, so dass der Verkäufer recht hat.
  6. Somit wird die Nullhypothese nicht verworfen.


Ergebnisse aus dem Hypothesentest:
Aus dem Ergebnis des Hypothesentest lassen sich mehrere Ergebnisse ableiten: Die Nullhypothese ist richtig oder falsch. Des Weiteren kann man zwei Arten von Fehlern unterscheiden: 

  • Fehler 1. Art: Die Nullhypothese wird verworfen, obwohl sie richtig ist.
  • Fehler 2. Art: Die Nullhypothese wird angenommen, obwohl sie falsch ist, wobei dieser Fehler sich nur berechnen lässt, wenn für die Alternativhypothese eine andere Wahrscheinlichkeit, als für H0 angenommen wird. 



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