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Vektoren - Allgemeines

Allgemeines:
"Vektoren" sind ein wichtiges Hilfsmittel der analytischen Geometrie und finden nicht nur in der Mathematik Einsatz, sondern auch in anderen Naturwissenschaften wie Physik (Bewegung) oder Chemie (Schwerpunkte von Molekülen). Mathematisch definiert sind Vektoren Objekte, die eine parallele Verschiebung in einem Raum oder einer Ebene beschreiben. Nichtmathematisch ausgedrückt ist ein Vektor ein Pfeil, der eine Richtung und eine Länge hat, wobei die Länge durch den Betrag des Vektors und die Richtung der Vektoren durch Spaltenvektoren angegeben wird.
 

Vektoren in der analytischen Geometrie:
Ein Vektor wird in der Regel mit einem Buchstaben oder einem anderen Symbol bezeichnet. Damit dieses Symbol erkennbar ist, dass das Symbol einen Vektor bezeichnet, ist es üblich, über dem Symbol einen Pfeil zu schreiben. Die Komponenten eines Vektors, eine x- und y-Komponente (bzw. auch eine z-Komponente) bezeichnen die Ausdehnung des Vektors in x- und in y-Richtung (und in z-Richtung). Diese Komponenten werden im Spaltenvektor übereinander aufgeschrieben, wie ein Bruch, allerdings ohne Bruchstrich, wobei die  x-Komponente in der Spalte oben und die y-Komponente unten steht (im zweidimensionalen Vektor). Im dreidimensionalen Spaltenvektor wird die x-Komponente oben geschrieben, die y-Komponente in der Mitte und die z-Komponente unten geschrieben.

WICHTIG zu erwähnen ist, dass ein Vektor nicht an eine bestimmte Stelle gebunden ist (wie z.B. ein Punkt), sondern man kann jeden Vektor auch verschieben.
 

Länge eines Vektors:
Der Betrag eines Vektors ist eine sog. skalare Größe und  hat immer einen positiven Wert. Einzige Ausnahme: es handelt sich um einen Nullvektor (Betrag gleich Null). Geometrisch ausgedrückt ist der Betrag eines Vektors gleich der Länge des Vektors.

Hergeleitet werden kann die Formel mit Hilfe des Satzes des Pythagoras. Wie in der Skizze erkennbar ist, sind die  x-Komponente und y-Komponente des Vektors a die Katheten eines Dreiecks. Die Länge (der Betrag) des Vektors entspricht der Hypotenuse. Somit kann man mit Hilfe des Satzes des Pythagoras (a² + b² = c²) die Länge der Hypotenuse berechnen. Im Dreidimensionalen kommt noch die z-Komponente dazu.
 

weiterführende Infomationen auf Lernort-Mint.de 


 

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