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Multiplikation von Vektoren miteinander (keine Mulitplikation mit einem Skalar)

Allgemeines:
"Vektoren" sind ein wichtiges Hilfsmittel der analytischen Geometrie und finden nicht nur in der Mathemaitk Einsatz, sondern auch in anderen Naturwissenschaften wie Physik (Bewegung) oder Chemie (Schwerpunkte von Molekülen). Mathematisch definiert sind Vektoren Objekte, die eine parallele Verschiebung in einem Raum oder einer Ebene beschreiben. Nichtmathematisch ausgedrückt ist ein Vektor ein Pfeil, der eine Richtung und eine Länge hat, wobei die Länge durch den Betrag des Vektors und die Richtung der Vektoren durch Spaltenvektoren angegeben wird.
Auch bei Vektoren sind mathemathische Operationen möglich, wie z.B. die Multiplikation von Vektoren miteinander.
 

Multiplikation von Vektoren:
Die Multiplikation von Vektronen nennt man auch Vektorprodukt, äußeres Produkt oder Kreuzprodukt. Dieses mathematische Verfahren sollte nicht mit dem Verfahren "Multiplikation eines Vektors mit einer skalaren Größe"verwechselt werdden. Ziel des Vektorproduktes ist es, zwei Vektoren multiplikativ zu einem neuen Vektor zu verknüpfen.
 

Was ist so interessant an dem Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt?
Wie bereits erwähnt, entsteht durch Multiplikation von Vektoren zum Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt ein neuer Vektor. Mit Hilfe dieses Vektors lassen sich viele wichtige Eigenschaften herleiten, die nicht nur in der analytischen Geometrie von Interesse sind. So liefert das Vektorprodukt

  • einen neuen Vektor, der senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren steht.
  • einen Vektor, dessen Betrag ein Maß für die Fläche des aufgespannten Parallelogramms (bzw. kann damit auch die Dreiecksfäche berechnet werden, die die Vekoren aufspannen und die Hälfte der Fläche des Parallelogramms ist) ist.

Lösungsverfahren für die Multiplikation von Vektoren:
Anlich wie bei der Addition bzw. Subtraktion von Vektoren gibt es ein grafisches und ein matahematisches Lösungsverfahren. Das grafische Verfahren ist allerdings so komplex, dass hier nur das mathematische Löunsgverfahren vorgestellt werden soll.Zu Beachten ist, dass nicht egal ist, in welcher Reihenfolge die Vektoren multipliziert werden. Werden die beiden Vektoren vertauscht, ändert sich das Vorzeichen bzw. der Vektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung.



Berechnung der Länge (auch der Betrag) eines (aus der Multiplikation resultierenden) Vektors:
Der Betrag eines Vektors ist eine sog. skalare Größe und  hat immer einen positiven Wert. Einzige Ausnahme: es handelt sich um einen Nullvektor (Betrag gleich Null).Geometrisch ausgedrückt ist der Betrag eines Vektors gleich der Länge des Vektors.

Hergeleitet werden kann die Formel mit Hilfe des Satzes des Pythagoras. Wie in der Skizze erkennbar ist, sind die  x-Kompenente und y-Komponente des Vektors a die Katheten eines Dreiecks. Die Länge (der Betrag) des Vektors entspricht der Hypotenuse. Somit kann man mit Hilfe des Satz des Pythagoras (a² + b² = c²) die Länge der Hypotenuse berechnen. Im Dreidimenionalen kommt noch die z-Komponente dazu.


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