Multiplikation von Vektoren miteinander (keine Multiplikation
mit einem Skalar)
Allgemeines:
"Vektoren" sind ein wichtiges Hilfsmittel der analytischen Geometrie
und finden nicht nur in der Mathematik Einsatz, sondern auch in anderen
Naturwissenschaften wie Physik (Bewegung) oder Chemie (Schwerpunkte von
Molekülen). Mathematisch definiert sind Vektoren Objekte, die eine
parallele Verschiebung in einem Raum oder einer Ebene beschreiben. Nichtmathematisch
ausgedrückt ist ein Vektor ein Pfeil, der eine Richtung und eine Länge
hat, wobei die Länge durch den Betrag des Vektors und die Richtung
der Vektoren durch Spaltenvektoren angegeben wird.
Auch bei Vektoren sind mathematische Operationen möglich, wie
z.B. die Multiplikation von Vektoren miteinander.
Multiplikation von Vektoren:
Die Multiplikation von Vektoren nennt man auch Vektorprodukt, äußeres
Produkt oder Kreuzprodukt. Dieses mathematische Verfahren sollte nicht
mit dem Verfahren "Multiplikation eines Vektors mit einer skalaren Größe"verwechselt
werden. Ziel des Vektorproduktes ist es, zwei Vektoren multiplikativ zu
einem neuen Vektor zu verknüpfen.
Was ist so interessant an dem Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt?
Wie bereits erwähnt, entsteht durch Multiplikation von Vektoren
zum Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt ein neuer Vektor. Mit Hilfe dieses
Vektors lassen sich viele wichtige Eigenschaften herleiten, die nicht nur
in der analytischen Geometrie von Interesse sind. So liefert das Vektorprodukt
-
einen neuen Vektor, der senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren steht.
-
einen Vektor, dessen Betrag ein Maß für die Fläche des
aufgespannten Parallelogramms (bzw. kann damit auch die Dreiecksfläche
berechnet werden, die die Vektoren aufspannen und die Hälfte der Fläche
des Parallelogramms ist) ist.
Lösungsverfahren für die Multiplikation von Vektoren:
Ähnlich wie bei der Addition bzw. Subtraktion von Vektoren gibt es ein
grafisches und ein mathematisches Lösungsverfahren. Das grafische
Verfahren ist allerdings so komplex, dass hier nur das mathematische Löungsverfahren
vorgestellt werden soll.Zu Beachten ist, dass nicht egal ist, in welcher
Reihenfolge die Vektoren multipliziert werden. Werden die beiden Vektoren
vertauscht, ändert sich das Vorzeichen bzw. der Vektor zeigt in die
entgegengesetzte Richtung.
Berechnung der Länge (auch der Betrag) eines (aus der Multiplikation
resultierenden) Vektors:
Der Betrag eines Vektors ist eine sog. skalare Größe und
hat immer einen positiven Wert. Einzige Ausnahme: es handelt sich um einen
Nullvektor (Betrag gleich Null). Geometrisch ausgedrückt ist der Betrag
eines Vektors gleich der Länge des Vektors.
Hergeleitet werden kann die Formel mit Hilfe des Satzes des Pythagoras.
Wie in der Skizze erkennbar ist, sind die x-Komponente und y-Komponente
des Vektors a die Katheten eines Dreiecks. Die Länge (der Betrag)
des Vektors entspricht der Hypotenuse. Somit kann man mit Hilfe des Satzes
des Pythagoras (a² + b² = c²) die Länge der Hypotenuse
berechnen. Im Dreidimensionalen kommt noch die z-Komponente dazu.
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