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Multiplikation von Vektoren mit Skalaren bzw. skalaren Größen

Allgemeines:
"Vektoren" sind ein wichtiges Hilfsmittel der analytischen Geometrie und finden nicht nur in der Mathematik Einsatz, sondern auch in anderen Naturwissenschaften wie Physik (Bewegung) oder Chemie (Schwerpunkte von Molekülen). Mathematisch definiert sind Vektoren Objekte, die eine parallele Verschiebung in einem Raum oder einer Ebene beschreiben. Nichtmathematisch ausgedrückt ist ein Vektor ein Pfeil, der eine Richtung und eine Länge hat, wobei die Länge durch den Betrag des Vektors und die Richtung der Vektoren durch Spaltenvektoren angegeben wird.
Auch bei Vektoren sind mathematische Operationen möglich, wie z.B. die Multiplikation von Vektoren mit skalaren Größen
 

Was ist eine skalare Größe?
Die Multiplikation eines Vektors mit einer skalaren Größe ist z.B. "3 · Vektor a". Dabei ist ein Skalar bzw. skalare Größe eine (mathematische) Größe, die nur die Angabe eines Zahlenwertes charakterisiert ist, d.h. ohne Einheit und Angabe einer Richtung. 
Vereinfacht gesagt, es handelt es bei einer skalaren Größe einfach um eine Zahl.
 

Die Multiplikation eines Vektors mit einer skalaren Größe:
Bei der Lösung dieser mathematischen Operation gibt es wie auch schon bei der Vektoraddition und der Vektorsubtraktion ein mathematisches und ein grafisches Verfahren zur Lösung. Von dem grafischen Verfahren ist eher abzuraten (aufgrund der Dauer des Verfahrens).
Beim grafischen Verfahren wandelt man einfach die Multiplikation eines Vektors in eine Addition um, so ist z.B. "3 · Vektor a = Vektor a + Vektor a + Vektor a".
Nach dieser Umwandlung entspricht die Multiplikation der Vektoraddition, also der Aneinanderreihung von Vektoren. Vektoradditionen lassen sich grafisch und rechnerisch lösen. Bei der grafischen Lösung der Vektoraddition wird an die Spitze (Ende) des ersten Vektors der Schaft (Anfang) des zweiten Vektors gesetzt u.s.w.
 


 

Anschließend soll noch kurz das mathematische Verfahren zur Multiplikationen von Vektoren mit einer skalaren Größe erläutert werden. Dabei diese Verfahren relativ einfach. Die einzelnen x-Werte und y-Werte (und z-Werte) werden mit der skalaren Größe multipliziert.




Berechnung der Länge eines (aus der Multiplikation resultierenden) Vektors:
Der Betrag eines Vektors ist eine sog. skalare Größe und  hat immer einen positiven Wert. Einzige Ausnahme: es handelt sich um einen Nullvektor (Betrag gleich Null). Geometrisch ausgedrückt ist der Betrag eines Vektors gleich der Länge des Vektors.

Hergeleitet werden kann die Formel mit Hilfe des Satzes des Pythagoras. Wie in der Skizze erkennbar ist, sind die  x-Komponente und y-Komponente des Vektors a die Katheten eines Dreiecks. Die Länge (der Betrag) des Vektors entspricht der Hypotenuse. Somit kann man mit Hilfe des Satzes des Pythagoras (a² + b² = c²) die Länge der Hypotenuse berechnen. Im Dreidimensionalen kommt noch die z-Komponente dazu.
 

weiterführende Infomationen auf Lernort-Mint.de 


 

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