Vektoren – Allgemeine Rechenregeln

“Vektoren” sind ein wichtiges Hilfsmittel der analytischen Geometrie und finden nicht nur in der Mathematik Einsatz, sondern auch in anderen Naturwissenschaften wie Physik (Bewegung) oder Chemie (Schwerpunkte von Molekülen). Mathematisch definiert sind Vektoren Objekte, die eine parallele Verschiebung in einem Raum oder einer Ebene beschreiben. Nichtmathematisch ausgedrückt ist ein Vektor ein Pfeil, der eine Richtung und eine Länge hat, wobei die Länge durch den Betrag des Vektors und die Richtung der Vektoren durch Spaltenvektoren angegeben wird.

Beim mathematischen “Umgang” mit Vektoren gibt es einige nützliche Regeln, die nachfolgend aufgelistet sind.

Rechenregeln bei mathematischen Operationen mit Vektoren

  • Bei der Addition von Vektoren gilt das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz.
  • Bei Operationen von Vektoren mit dem Skalarprodukt gitl ebenfalls das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz.
  • Bei Operationen (Vektorprodukt) von Vektoren gilt nur allgemein das Distributivgesetz.

Übersicht zu den Rechenregeln

Rechenregeln bei mathematischen Operationen mit Vektoren

Rechenregeln bei mathematischen Operationen mit Vektoren


Vektoren – Allgemeine Rechenregeln – Testfragen/-aufgaben

1. Was sind Vektoren in der Mathematik?

Ein Vektor in der Mathematik ist ein mathematisches Objekt, das sowohl eine Richtung als auch eine Länge hat. Vektoren werden oft mit einem Pfeil dargestellt, der von einem Anfangspunkt zu einem Endpunkt zeigt.

2. Wie werden Vektoren in der Mathematik symbolisiert?

Vektoren werden meistens durch einen Pfeil über dem Buchstaben dargestellt, z.B. ⃗a

3. Beschreiben Sie den Nullvektor.

Der Nullvektor ist ein spezieller Vektor, dessen Richtung undefiniert ist und dessen Länge bzw. Betrag gleich Null ist.

4. Wie berechnet man die Länge eines Vektors?

Die Länge oder der Betrag eines Vektors wird durch die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten berechnet. Bei einem 2D-Vektor ⃗a=(x,y) ist die Länge beispielsweise √(x²+y²).

5. Wie addiert und subtrahiert man Vektoren?

Vektoren werden komponentenweise addiert oder subtrahiert. Das bedeutet, dass man die entsprechenden Komponenten voneinander addiert oder subtrahiert.

6. Wie multipliziert man Vektoren?

Es gibt zwei Arten der Multiplikation von Vektoren – das Skalarprodukt (auch Punkt- oder Dot-Produkt genannt), bei dem das Ergebnis eine Zahl ist, und das Vektorprodukt (auch Kreuz- oder Cross-Produkt genannt), bei dem das Ergebnis ein Vektor ist.

7. Was ist das Skalarprodukt von Vektoren und wie berechnet man es?

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist das Produkt ihrer Längen multipliziert mit dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels. In kartesischen Koordinaten berechnet man es durch Multiplizieren der entsprechenden Komponenten der Vektoren und Aufsummieren dieser Produkte.

8. Was ist das Kreuzprodukt von Vektoren und wie berechnet man es?

Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren ist ein Vektor, dessen Länge gleich dem Produkt der Längen der beiden Vektoren und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels ist. Seine Richtung ist rechtwinklig zu den beiden gegebenen Vektoren, gemäß der “Rechte-Hand-Regel”.

9. Was ist die Parallelogrammregel in Bezug auf Vektoren?

Die Parallelogrammregel ist eine Regel zur grafischen Addition von zwei Vektoren. Sie besagt, dass wenn zwei Vektoren so verschoben werden, dass sie vom selben Punkt ausgehen, der resultierende Vektor die Diagonale des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms ist.

10. Was ist die Dreiecksregel in Bezug auf Vektoren?

Die Dreiecksregel ist eine Regel zur grafischen Addition von zwei Vektoren. Sie besagt, dass wenn zwei Vektoren so vervollständigt werden, dass sie ein Dreieck bilden, der resultierende Vektor die dritte Seite des Dreiecks ist.

Autor: , Letzte Aktualisierung: 27. Juli 2023