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Thermische Energie und Temperatur - Zusammenhang über die Boltzmann-Konstante

Allgemeines über thermische Energie, Temperatur und die Boltzmann-Konstante:

In diesem Kapitel befassen wir uns mit dem Zusammenhang zwischen Temperatur und der thermischen Energie eines Teilchens. Hierbei verwenden wir die sogenannte (Ludwig) Boltzmann-Konstante, mit deren Hilfe wir die Berechnung der mittleren thermischen Energie eines Teilchens aus einer gegebenen Temperatur berechnen können.


Die Boltzmann-Konstante - Temperatur in thermische Energie umrechnen und umgekehrt

Im Kapitel Wärmelehre haben wir uns öfters mit dem Zusammenhang zwischen (absoluter) Temperatur und thermischer Energie befasst. Bei der Umwandlung beider Größen hilft uns die Boltzmann-Konstante k. Die Boltzmann-Konstante entspricht dem Umrechnungsfaktor zwischen der absoluten Temperatur (in Kelvin) und der thermischen Energie (in Joule). Daher hat auch die Boltzmann-Konstante die entsprechende Einheit, nämlich Joule pro Kelvin.Die Bolzmann-Konstante k beträgt ungefähr   1,31⋅10−23J/K (genauer Werte können jederzeit in einer entsprechenden Formelsammlung nachgesehen werden.

Daher entspricht das Produkt aus Boltzmann-Konstante und der Temperatur auch einer "Energie(form)", nämlich der sogenannten thermischen Energie. Diese thermische Energie k·T verwenden wir in der Wärmelehre häufig, da wir immer wieder einen Zusammenhang zwischen Temperatur und Energie (in Form einer Wärmemenge) herleiten.


1. Anwendung der Boltzmann-Konstante: Berechnung der thermischen bzw. (mittleren) kinetischen Energie eines punktförmigen Teilchens:


   E =1,5·k·T (auch formuliert als E = 1,5·k·T)

Hinweis: diese Gleichung lässt sich nur bei (klassischen) punktförmigen Teilchen anwenden. Betrachtet man die thermische Energie auf Molekülebene (=> Teilchenverbund) so muss die Formel modifiziert werden (siehe weiter unten).


2. Anwendung der Boltzmann-Konstante: Berechnung der allgemeinen Gaskonstante:

Ohne auf die Herleitung der Boltzmann-Konstante näher einzugehen, kann man mit Hilfe der Boltzmann-Konstante die allgemeine Gaskonstante R bestimmen. Die allgemeine Gaskonstante ist Teil der idealen Gasgleichung. Das Produkt aus Boltzmann-Konstante und Avogadro-Konstante entspricht der allgemeinen Gaskonstante R

R = NA·k





Herleitung bzw. Berechnung der Boltzmann-Konstante

1. Berechnung der Boltzmann-Konstante

Da die allgemeine Gaskonstante R das Produkt aus Boltzmann-Konstante und Temperatur ist und die allgemeine Gaskonstante Teil der idealen Gasgleichung kann man die Boltzmann-Konstante über die allgemeine Gasgleichung berechnen:

p·V=N·k·T

Dazu bestimmt man bei einer bestimmten Temperatur T, den Druck p und das Volumen V. Aus der Stoffmenge n an Gas lässt sich die Teilchenzahl N ableiten. Setzt man diese Werte in die ideale Gasgleichung ein, erhält man damit den Wert der Boltzmann-Konstante ermitteln.


2. Herleitung der Boltzmann-Konstante

Die Boltzmann-Konstante lässt sich mit Hilfe der Grundlagen der statistischen Thermodynamik ableiten. Dabei wird ein Zusammenhang zwischen der Entropie S und der Zustände eines Systems W aufgestellt, dieser lautet folgendermaßen: S = k · ln(W), wobei k die Boltzmann-Konstante ist und die Zahl W entspricht der Zahl der möglichen Zustände eines Systems, dabei sprechen viele bei  "W"  = 1 von max. Ordnung. Die Entropie aller Stoffe am absoluten Nullpunkt beträgt S = 0 J/mol·K.




Hinweis: Unterschied zwischen der klassischen Wärmelehre und der Thermodynamik

In der klassischen Wärmelehre erfolgt die Berechnung der thermischen bzw. (mittleren) kinetischen Energie eines punktförmigen Teilchens: E =1,5·k·T. In der Realität gibt es aber keine echten "punktförmigen" Teilchen, sondern Moleküle, die aus zwei oder mehreren Teilchen (Atomen) bestehen (Beispielsweise ist Sauerstoff ein zweiatomiges Molekül). Der Unterschied liegt in den sogenannten Freiheitsgraden, ein punktförmiges Teilchen hat drei Freiheitsgrade, während ein Teilchen aus zwei Atomen mehr Freiheitsgrade hat (so kommt die Rotation hinzu). Dies wird im Rahmen der Thermodynamik genauer betrachtet.

Daher wird in der Thermodynamik die mittlere thermische Energie eines Teilchens pro Freiheitsgrad angegeben. Da ein klassisches Teilchen 3 Translationsfreiheitsgrade hat, lautet die zugehörige Formel

E =0,5·k·T