Das 2. Keplersche Planetengesetz

Wie jede Bewegung folgt auch die Bewegung der Erde (die um die Sonne kreist) physikalischen Gesetzen. Diese zugehörigen (drei) physikalischen Gesetze wurden vom Johannes Kepler formuliert.

Das 2. Keplergesetz (auch als Flächensatz bezeichnet) beschreibt dabei die Bewegung der Planeten auf ihrer Bahn. Dabei zeigt das 2. Keplersche Gesetz, dass die Geschwindigkeit der Planeten nicht gleichmäßig ist (während der Umkreisung der Sonne). Das 2. Keplersche Gesetz zeigt aber, dass während einer Umkreisung der Radiusvektor in gleichen Zeiträumen gleiche Flächenstücke der ellipsenförmigen Kreisbahn überstreicht.

Das 2. Keplersche Planetengesetz

Wie bereits erwähnt, bewegen sich die Planeten auf ihrer ellipsenförmigen Kreisbahn nicht mit gleicher Geschwindigkeit. Das 2. Keplersche Gesetz besagt, dass die Flächen, die vom Radiusvektor in gleicher Zeit überstrichen werden, gleich sind.

zweite Keplersche Gesetz

Aus dem zweiten Keplerschen Gesetz folgt, das sich die Erde bzw. alle Planeten im Sonnensystem auf ihrer Kreisbahn mit unterschiedlichen (Bahn)Geschwindigkeiten bewegen. Im Sommer auf der Nordhalbkugel ist Sonne weiter entfernt, als im Winter. Da die Bahngeschwindigkeit in Sonnennähe schneller als in Sonnenferne hat die Erde unterschiedliche Geschwindigkeiten, mit denen sich die Erde auf einer Kreisbahn bewegt. Die Geschwindigkeiten beträgt 29,3 km/s im Sommer auf der Nordhalbkugel (im Juni, größte Entfernung zur Sonne, rechte Seite der Abbildung t3 bis t4) und 30,3 km/s im Winter auf der Nordhalbkugel (im Januar, geringste Entfernung zur Sonne)

Aus dem 2. Keplerschen Gesetz folgt, dass sich die Erde (bzw. alle anderen Planeten) in Sonnennähe (auch als Perihel bezeichnet) schneller bewegt als in Sonnenferne (auch als Aphel bezeichnet).

Beweis des 2. Keplerschen Gesetzes:

Können wir mathematisch beweisen, dass das 2. Keplersche Gesetz richtig ist?
Nein, wír können aber beweisen, dass wenn die Erde auf der Kreisbahn innerhalb des gleichen Zeitraumes gleiche Flächen überstreicht, die Erde auf der Kreisbahn unterschiedliche Bahngeschwindigkeiten aufweist.

Nun wollen wir das 2. Keplersche Gesetz untersuchen, dazu betrachten wir, wie der Radiusvektor innerhalb eines Zeitraumes (t2 – t1) die Fläche2 überstreicht. Innerhalb dieses Zeitraumes (von t1 zu t2) bewegt sich die Erde auf der Kreisbahn weiter.

Herleitung zweites Keplersches Gesetz

Die Strecke auf der Kreisbahn, die die Erde innerhalb eines Zeitraumes zurücklegt, ist v ·(t2 – t1). Die Fläche des Dreiecks (rechte Abbildung) lässt sich (mathematisch) berechnen mit: Fläche = 0,5 · d ·r(2). Die Strecke d lässt sich mit Hilfe der Trigonometrie ermitteln: d = sin (alpha) ·  v ·(t2 – t1)

Damit erhält man:  Fläche = 0,5 ·sin (alpha) ·  v ·(t2 – t1)  ·r2
Laut 2. Keplerschem Gesetz ist Zeitraum, der betrachtet wird (z.b. t2-t1) immer gleich ist und die überstrichene Fläche immer gleich. Daher kann man mit Hilfe der Formel ableiten, dass die Bahngeschwindigkeit sich ändern muss, damit die in einem bestimmten Zeitraum überstrichene Fläche immer gleich ist. Mit Hilfe der Formel zeigt sich, dass bei kleinem Radiusvektor r, die Bahngeschwindigkeit größer sein muss, als bei großem Radiusvektor r, bei dem die Bahngeschwindigkeit im Vergleich kleiner ist.

Beiweisen, dass bei einer Umlaufbahn eines Planeten vom Radiusvektor in gleicher Zeit die gleiche Fläche überstrichen wird, lässt sich durch die Drehimpulserhaltung erreichen. Dies ist aber nicht mehr Inhalt des entsprechenden Lehrplanes


Das 2. Keplersche Planetengesetz – Testfragen/-aufgaben

1. Was beschreibt das 2. Keplersche Gesetz?

Das 2. Keplersche Planetengesetz, auch als Gesetz der Flächenkonstanz bekannt, besagt, dass sich ein Planet auf seiner elliptischen Umlaufbahn um die Sonne in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht. Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit des Planeten auf seiner Bahn nicht konstant ist – er bewegt sich am schnellsten, wenn er der Sonne am nächsten ist und am langsamsten, wenn er der Sonne am weitesten entfernt ist.

2. Was bedeutet die Annahme der “Flächenkonstanz” im 2. Keplerschen Gesetz?

Die Annahme der “Flächenkonstanz” bedeutet, dass die Fläche, die ein Planet auf seiner Umlaufbahn in gleicher Zeit überstreicht, immer gleich ist, unabhängig davon, in welcher Position der Planet sich befindet. Dies führt dazu, dass der Planet sich in der Nähe der Sonne (Perihel) schneller als in größerer Entfernung zur Sonne (Aphel) bewegt.

3. Warum ändert sich die Geschwindigkeit eines Planeten auf seiner Umlaufbahn?

Die Geschwindigkeit eines Planeten ändert sich aufgrund der Gravitationskraft der Sonne, die auf den Planeten wirkt. Diese Kraft ist am stärksten, wenn der Planet der Sonne am nächsten ist und am schwächsten, wenn er am weitesten entfernt ist, was zu unterschiedlichen Geschwindigkeiten führt.

4. Was ist das Perihel und das Aphel eines Planeten?

Das Perihel ist der Punkt auf der Umlaufbahn eines Planeten, an dem er der Sonne am nächsten ist. Das Aphel ist der Punkt auf der Umlaufbahn, an dem der Planet der Sonne am weitesten entfernt ist.

5. Wie steht das 2. Keplersche Planetengesetz mit dem Gravitationsgesetz in Verbindung?

Das 2. Keplersche Planetengesetz steht mit dem Gravitationsgesetz in Verbindung, da es durch die Gravitationskraft der Sonne erklärt werden kann, die auf den Planeten wirkt und seine Geschwindigkeit auf der Umlaufbahn beeinflusst.

6. Wie unterscheidet sich das 2. Keplersche Gesetz vom 1. und 3. Keplerschen Gesetz?

Das 2. Keplersche Gesetz beschäftigt sich mit der Geschwindigkeitsänderung eines Planeten auf seiner Umlaufbahn, während das 1. Keplersche Gesetz die Form der Umlaufbahn (die Ellipse) und das 3. Keplersche Gesetz das Verhältnis zwischen der Umlaufzeit und der durchschnittlichen Entfernung zur Sonne beschreibt.

7. Welche Auswirkungen hat das 2. Keplersche Planetengesetz auf das Leben auf der Erde?

Das 2. Keplersche Planetengesetz spielt eine wichtige Rolle für das Klima und die Jahreszeiten auf der Erde. Durch die Veränderungen in der Geschwindigkeit der Erde auf ihrer Umlaufbahn ändern sich auch die Intensität der Sonnenstrahlung und die Länge der Jahreszeiten.

8. Wie lässt sich das 2. Keplersche Planetengesetz experimentell überprüfen?

Das 2. Keplersche Planetengesetz kann experimentell überprüft werden, indem man die Position und die Geschwindigkeit eines Planeten auf seiner Umlaufbahn zu verschiedenen Zeiten misst und vergleicht.

9. Welche Rolle spielt das 2. Keplersche Planetengesetz in der moderne Astrophysik?

Das 2. Keplersche Planetengesetz spielt eine entscheidende Rolle in der modernen Astrophysik, da es zur Berechnung der Bahndaten von Planeten, Satelliten und Raumsonden und somit zur Planung von Raummissionen genutzt wird.

10. Kann das 2. Keplersche Gesetz bei Kometen angewendet werden und wenn ja, warum?

Ja, das 2. Keplersche Gesetz kann auch bei Kometen angewendet werden, da auch sie sich auf einer elliptischen Bahn um die Sonne bewegen und somit das Prinzip der Flächenkonstanz gilt.