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Die Schrödinger-Gleichung


 

Allgemeines:
Im Kapitel "Materiewellen nach De Broglie" wurde erwähnt, dass mit Hilfe der De Broglie-Beziehung Teilchen Welleneigenschaften und umgekehrt zugeordnet werden können. Dadurch ließen sich einige Phänome der Quantenphyisk erklären bzw. lösen. Aufgrund der Hypothesen von De Broglie entwickelte Erwin Schrödinger im Jahre 1926 eine mathematische Theorie,  in der Schrödinger den Zustand eines Elektrons durch eine Wellenfunktionen beschrieb. Die Schrödinger-Gleichung ist strenggenommen nur für Einteilchen-Probleme exakt lösbar, dennoch lassen sich (aufgrund von Nährungen) viele quantenphysikalische Eigenschaften erklären.
 

Die Schrödinger-Gleichung:
Im Prinzip kann man durch die Wellenfunktion den Zustand eines Elektrons beschreiben, diese Wellenfunktion hängt dabei von den drei Raumkoordinaten (x,y,z) und der Zeitkoordinate (t) ab und besagt, wie sich die Wellenfunktion mit der Zeit verändert. Die Schrödinger-Gleichung beschreibt aber nicht (direkt) die Aufenthaltswahrscheinlichkeit von Elektronen in sogenannten Atomorbitalen. Diese wurde erst von Born formuliert, dabei gibt der Betrag der Wellenfunktion zum Quadrat die Aufenthaltseahrscheinlichkeiten an. 
 

Die Schrödinger-Gleichung im Detail:
Im Prinzip ist die Schrödinger-Gleichung realtiv einfach aufgebaut. Auf der einen Seite der Gleichung steht die zeitliche Ableitung der Wellenfunktion, auf der anderen Seite steht der Hamilton-Operator angewendet auf die Wellenfunktion. Der Hamilton-Operator bestimmt die möglichen Energiewerte des zugehörigen physikalischen Systems und dessen zeitliche Entwicklung. Es handelt es sich daher mathematisch um eine Differentialgleichung 2. Ordnung.
Wie bereits in der Einleitung erwähnt, ist die Schrödinger-Gleichung nur auf den eindimensionalen und zeitunabhängigen Fall exakt zu lösen. Sie lautet allgemein: 

Herleitung der Schrödinger-Gleichung:
Für die Herleitung der Schrödinger-Gleichung im eindimensionalen, zeitunabhängigen Fall benötigt man zwei Ausgangsannahmen:

  • Eine Funktion für eine Wellenfunktion wie in der klassischen Mechanik und Elektrodynamik 
  • Die De Broglie-Beziehung: Materiewellen für Teilchen


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