Im Kapitel “Materiewellen nach De Broglie” wurde erwähnt, dass mit Hilfe der De Broglie-Beziehung Teilchen Welleneigenschaften und umgekehrt zugeordnet werden können. Dadurch ließen sich einige Phänomene der Quantenphysik erklären bzw. lösen. Aufgrund der Hypothesen von De Broglie entwickelte Erwin Schrödinger im Jahre 1926 eine mathematische Theorie, in der Schrödinger den Zustand eines Elektrons durch eine Wellenfunktion beschrieb. Die Schrödinger-Gleichung ist strenggenommen nur für Einteilchen-Probleme exakt lösbar, dennoch lassen sich (aufgrund von Näherungen) viele quantenphysikalische Eigenschaften erklären.
Im Prinzip kann man durch die Wellenfunktion den Zustand eines Elektrons beschreiben, diese Wellenfunktion hängt dabei von den drei Raumkoordinaten (x,y,z) und der Zeitkoordinate (t) ab und besagt, wie sich die Wellenfunktion mit der Zeit verändert. Die Schrödinger-Gleichung beschreibt aber nicht (direkt) die Aufenthaltswahrscheinlichkeit von Elektronen in sogenannten Atomorbitalen. Diese wurde erst von Born formuliert, dabei gibt der Betrag der Wellenfunktion zum Quadrat die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten an.
Im Prinzip ist die Schrödinger-Gleichung relativ einfach aufgebaut. Auf der einen Seite der Gleichung steht die zeitliche Ableitung der Wellenfunktion, auf der anderen Seite steht der Hamilton-Operator angewendet auf die Wellenfunktion. Der Hamilton-Operator bestimmt die möglichen Energiewerte des zugehörigen physikalischen Systems und dessen zeitliche Entwicklung. Es handelt es sich daher mathematisch um eine Differentialgleichung 2. Ordnung.
Wie bereits in der Einleitung erwähnt, ist die Schrödinger-Gleichung nur auf den eindimensionalen und zeitunabhängigen Fall exakt zu lösen. Sie lautet allgemein:
Für die Herleitung der Schrödinger-Gleichung im eindimensionalen, zeitunabhängigen Fall benötigt man zwei Ausgangsannahmen:
Die Schrödinger-Gleichung ist eine fundamentale Gleichung in der Quantenmechanik, die den Zustand eines quantenphysikalischen Systems beschreibt.
Die Schrödinger-Gleichung wurde von dem österreichischen Physiker Erwin Schrödinger entwickelt.
Die Schrödinger-Gleichung wird vorwiegend zur Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Teilchens in einem gegebenen Zustand verwendet.
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung lautet: Hψ = Eψ, wobei H der Hamilton-Operator, ψ die Wellenfunktion und E die Energie des Systems ist.
Die Wellenfunktion repräsentiert in der Schrödinger-Gleichung den Zustand des quantenphysikalischen Systems.
Der Hamilton-Operator repräsentiert die Gesamtenergie des Systems in der Schrödinger-Gleichung.
Das Quadrat der Wellenfunktion in der Schrödinger-Gleichung gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an, das Teilchen an einer bestimmten Position zu finden.
Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung beschreibt die dynamische Veränderung des Systems, während die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung stationäre Zustände des Systems beschreibt.
Die Schrödinger-Gleichung ist so wichtig, weil sie den Grundzustand und alle möglichen angeregten Zustände eines quantenmechanischen Systems beschreibt.
In der Quantenchemie wird die Schrödinger-Gleichung angewendet, um die Energieeigenwerte und Wellenfunktionen von Atomen und Molekülen zu berechnen.