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Hall-Effekt / Hall-Spannung

Allgemeines

Bewegt sich ein geladenes Teilchen (z.B. ein Elektron) in magnetischen Feldern, werden die Teilchen durch das Magnetfeld beeinflusst. Die Ursache bzw. "Kraft", die auf bewegte Ladungsträger in magnetischen Feldern wirkt, ist die sogenannte Lorentzkraft, benannt nach dem Physiker Hendrik Lorentz. 

Betrachten wir nun einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld, so werden die Elektronen im Leiter durch die Lorentzkraft abgelenkt. Wie in Vorkapitel erläutert, besteht ein Zusammenhang zischen Ladungsbewegung und magnetischen Feld. So wird im Leiter durch die Ablenkung der Elektronen die sogenannte Hall-Spannung erzeugt.


Die Hall-Spannung hängt dabei von der Stromstärke im Leiter, der magnetischen Flussdichte und der Dicke des Leiters ab. Die Formel zur Berechnung lautet:

Formel Hallspannung


Die Berechnung der Hallspannung soll nun hergeleitet werden:


Das Teilchen im Magnetfeld - die Hallspannung


Bewegt man Elektronen in einem Leiter (senkrecht zum Magnetfeld), so wirkt die Lorentzkräfte FL auf die einzelnen Elektronen.
Erfahren die Elektronen eine (Lorentz-)Kraft in y-Richtung, dann sollten sich am unteren Ende des Leiters Elektronen ansammeln und die am oberen Ende des Leiters fehlen und so eine Ladungstrennung erzeugen. Eine Ladungstrennung (wie beispielsweise bei einem Kondensator) erzeugt ein elektrisches Feld, wobei durch dieses elektrisches Feld eine Potentialdifferenz erzeugt wird. Daher werden zwischen den beiden Enden des Leiters eine Spannung gemessen.

Herleitung:

Ein elektrischer Strom I fließt durch einen Leiter (senkrecht zu einem Magnetfeld). Auf die fließenden Elektronen im Leiter wirkt die Lorentzkraft FL, die die Elektronen senkrecht zur Bewegungsrichtung ablenkt. Die Formel zur Berechnung der Lorentzkraft lautet (Bewegung geladener Teilchen senkrecht zu den magnetischen Feldlinien):

FL = q · v ·B 

Durch die Ablenkung der Elektronen bzw. der daraus resultierenden Ladungstrennung entsteht ein elektrisches Feld FE,dass eine Kraft auf die Elektronen hervorruft. Die Formel zur Berechnung des elektrischen Feldes lautet:

FE = q · E


Diese elektrische Kraft  wirkt der magnetischen Kraft entgegen gerichtet. Dabei werden die Elektronen durch die Lorentz-Kraft so lange abgelegt, bis die elektrische Kraft die Lorentz-Kraft kompensiert, sodass nach einiger Zeit ein Kräftegleichgewicht entsteht. Daher gilt: FL = FE

q · E = q · v · B

Das elektrische Feld hat die Feldstärke E, die für die Potentialdifferenz verantwortlich ist, so dass an den Enden des Leiters die Hall-Spannung UH gemessen werden kann. Nun wollen wir zwischen den beiden "Größen" einen Zusammenhang herstellen.

Im Allgemeinen kann die elektrische Feldstärke E als Spannung zwischen zwei Punkten mit dem Abstand l wiedergegeben werden.

E = UH : l

Somit erhalten wir folgende Formel

UH : l · q = q · v · B

Kürzen wir nun die Ladung q und multiplizieren die Gleichung mit dem Abstand h, so erhalten wir folgende Formel

UH = l · v · B

Als nächstes müssen wir die Geschwindigkeit v bestimmen. Hierbei gilt, bewegen sich N Elektronen im Leiter der Länge l, so ist die mittlere Geschwindigkeit v =  l : t

Die Geschwindigkeit v hängt aber auch noch mit der Stromstärke zusammen, so gilt:

I = Q : t =  N · e  · v : l  =>  v = (I· l)  : (N · e)
 

Setzen wird dies ein, haben wir folgende Formel

UH = h · B · (I· l)  : (N · e)


Nun wollen wir die anderen Größen vereinfachen:

Für das Volumen eines elektrischen Leiters gilt:

V = l · b · d

Für die Ladungsdichte eines elektrischen Leiters gilt:

 n = N : V

Setzen wir diese Größen ein, erhalten wir folgende Formel

UH = [1 : (n · e)] · (B · I)  :  d

Die Beziehung [1 : (n · e)] = [V : (N · e)] wird als Hall-Konstante K bezeichnet, womit wir nun die Formel zur Bestimmung der Hall-Spannung komplett haben

Formel Hallspannung

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