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Die harmonische Schwingung

Allgemeines:
So kann man drei Grundtypen von Bewegungsarten, wenn man nur den Körper selbst betrachtet, unterscheiden: Translation (geradlinige Bewegung durch einen Raum), Rotation (Drehbewegung) und Oszillation (Schwingung).

Translation:
Eine Translation ist eine Bewegung eines Körpers, bei der sich alle (Masse)punkte des bewegten Körpers in dieselbe Richtung bewegen (parallel zueinander). Ein Körper besitzt in einem Raum drei Freiheitsgrade der Translation (x-,y- und z-Richtung).

Rotation:
Eine Rotation eines Körpers ist definiert als die Bewegung eines Punktes oder Körpers um eine Rotationsachse.

Oszillation bzw. Schwingung:
Unter Oszillation versteht man generell Schwingungsbewegungen eines Körpers, meist bedeutet es eine Bewegung um einen Ruhepunkt. Da der Begriff aber in vielen anderen Fächern neben Physik verwendet wird, kann der Begriff neben Schwingungsbewegungen eines Körpers mehr Bedeutungen besitzen.
Man unterscheidet dabei 

  • gedämpfte und ungedämpfte Schwingungen
  • freie, erzwungene Schwingungen
  • lineare und nichtlineare Schwingungen
  • Schwingungen mit einem oder mehreren Freiheitsgraden


Genauere Betrachtung der Schwingung (in der Mechanik):
Bevor man sich mit der Schwingung in der Mechanik befasst, sollte man einmal Schwingung allgemein definieren (zumindest für das Fach Physik). Unter Schwingung versteht man in der Physik eine zeitlich periodische Änderung einer physikalischen Größe oder eines physikalischen Zustandes (diese Definition enthält auch z.B. eine periodische Änderung der Spannung bei Wechselstrom)

In der Mechanik wird der Begriff "Schwingung" noch erweitert, so sind Schwingungen periodische Vorgänge, bei denen sich ein Körper zeitlich periodisch um eine Ruhelage (Gleichgewichtslage, Nulllage) bewegen, wobei sich hier ebenfalls verschiedene physikalische Größen periodisch ändern (wie bei der allgemeinen Definitionen in Physik).
 

Die harmonische Schwingung:
Definitionsgemäß heißt eine Schwingung harmonisch, wenn die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage ist. Eine harmonische Schwingung erkennt man (als erstes daran), dass die Zeitabhängigkeit des physikalischen Zustandes sinus- bzw. cosinusförmig ist (d.h. der Graph im Weg-Zeit-Diagramm ist sinusförmig). Harmonische Schwingungen findet man

  • beim Fadenpendel
  • beim Federpendel


Wie kann man sich die harmonische Schwingung herleiten?
Im Bereich der Mechanik verwendet man immer gerne die Newton´schen Gesetze. Da in der Definition die Wörter "Körper" (also etwas mit Masse m) und "Rückstellkraft" (also etwas mit Kraft) auftauchen verwendet man das Newton´sche Gesetz, dass Kraft und Beschleunigung über die Masse in Relation setzt (F = m·a). Weiterhin ist bekannt, dass Beschleunigung  a die zweite Ableitung des Weges s bzw x (nach der Zeit t) ist (a = x´´). Fügt man diese beiden "Gesetze" zusammen, erhält man: F = m·x´´. 
 
Der nächste Schritt ist etwas schwieriger, und benötigt einiges an Vorwissen (Newton´sche Gesetze, Lösung von Differentialgleichungen .. u.s.w)
Wir in der obigen Formel gesehen, sucht man jetzt eine (Differential)gleichung, bei der die zweite Ableitung (m·a =m·x´´)mit der Ausgangsfunkion übereinstimmt (ohne Berücksichtigung eines Vorzeichens). Zusätzlich gilt, dass zum Zeitpunkt t0 = 0 die Auslenkung maximal ist (sonst würde z.B. ein Pendel auch nicht funktionieren, die max. Auslenkung wird als Amplitude bezeichnet und mit A abgekürzt). Als Ergebnis erhält man die Funktion A·sin(w ·t). Um nun die Geschwindigkeit oder die Beschleunigung zu berechnen, muss man nun einfach einmal (für die Geschwindigkeit) und zweimal (für die Beschleunigung) ableiten. 
 

Formeln bei der harmonischen Schwingung:

weiterführende Informationen auf Lernort-Mint.de

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