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Bewegung auf einer schiefen Ebene


 

Allgemeines:
Im allgemeinen Teil des Gebietes Mechanik werden auf Lernort-Mint die Grundlagen wie Bewegungsformen erklärt. Dabei werden oft Verallgemeinerungen und Vereinfachungen verwendet. Nun sollen die Grundlagen erweitert werden. Ein Beispiel hierfür ist die Bewegung auf einer schiefen Ebene. 
Im Prinzip ist eine schiefe Ebene überall zu finden, bestes Beispiel sind Strassen, auf denen sich Fahrzeuge bewegen.
 

Die schiefe Ebene:
Eine schiefe Ebene (auch als schräge oder geneigte Ebene bezeichnet) ist eine ebene Fläche, die gegen die Horizontale um einen bestimmten Winkel geneigt ist. Die Berechnung von Bewegungen auf schiefen Ebenen ist deswegen etwas komplizierter, da mehrere Kräfte wirken, die berücksichtigt werden müssen.

  • Die Kraft FG (Gewichtskraft des  Körpers):  Diese Kraft wird aus Masse (des Körpers) mal Erdbeschleunigung berechnet. 
  • Die Kraft FH (Hangabtriebskraft): Diese Kraft entspricht der Kraft, welche den Körper die schiefe Ebene nach unten rutschen lässt, d.h die Hangabtriebskraft ist nichts anderes als ein Teil der Gewichtskraft FG , die auf einer schiefen Ebene hangabwärts gerichtet ist. 
  • Die Kraft FN (Normalkraft, senkrecht zur schiefen Ebene): Diese Kraft entspricht der Kraft, welche den Körper auf die schiefe Ebene drückt.


Berechnung der Kräfte auf der schiefen Ebene
Damit man die einzelnen Kräfte bestimmen kann, zerlegt man die Gewichtskraft FG (mit Hilfe eines Kräfteparallelogramm) in zwei Komponenten (Hangabtriebskraft und Normalkraft), dass eine Kraft senkrecht (= Normalkraft) zur Ebene und die andere Kraft parallel zur Ebene (= Hangabtriebskraft) ist. Die Herleitung könnte man sehr ausführlich machen, aber dann würde diese Seite zu lange werden, daher nur in aller Kürze (Für besonders Interessierte: sin(a ) = h (Höhe der schiefen Ebene) : l (Länge der schiefen Ebene), dieser Winkel wird auch als Anstellwinkel bezeichnet, der jede schiefe Ebene charakterisiert).

  • Gewichtskraft FG = m·g
  • Hangabtriebskraft FH = m·g·sin(a )
  • Normalkraft FN = m·g.·cos(a )
mit
  • m = Masse des Körpers
  • g = Erdbeschleunigung (9,8 m/s²)
  • a (Alpha) = Winkel zwischen der Horizontalen und der schiefen Ebene


Was hat man nun "gewonnen":
Eine ganze Menge, denn wie oben bereits erwähnt ist die Bewegung auf einer schiefen Ebene ein oft auftauchendes Problem in der Mechanik, große Bedeutung hat dabei die Hangabtriebskraft:

  • Die Hangabtriebskraft ist die Kraft, die aufgebracht werden muss, wenn ein Körper über eine schiefe Ebene nach oben befördern werden soll.
  • Bewegt sich ein Körper eine schiefe Ebene hinab, so ist die Hangabtriebskraft die beschleunigende Kraft.
Wie aus den Formeln ersichtlich, hängt die Hangabtriebskraft von der Schräge der schiefen Ebene ab und ist umso größer, je steiler die schiefe Ebene ist.
  • Hat man die Hangabtriebskraft berechnet, kann man andere Größen damit berechnen, z.B. die Beschleunigung: a=FH /m oder die Geschwindigkeit berechnen. 
Beispiel:

Eine 1000kg schweres Auto rollt eine schiefe Ebene (mit einem Winkel von 20° gegenüber der Horizontalen) runter. Gesucht ist nun die Beschleunigung a,  mit der das Auto die schiefe Ebene herunterrollt (Reibung wird in diesem Beispiel vernachlässigt).

Lösung: 

  • Zuerst wird die Hangabtriebskraft berechnet: FH = m·g·sin(a ) = 1000 kg · 9,81m/s² ·sin(20°) = 3355 kg·m/s² = 3355 N
  • Mit Hilfe der Hangabtriebskraft kann nun die Beschleunigung berechnet werden (mit Hilfe des 1. Newton´schen Gesetzes F=m·a). a = F : m = 3355 kg·m/s² : 1000 kg = 3,36 m/s²
Will man nun beispielsweise die Strecke bestimmen, die in einem bestimmten Zeitintervall berücksichtig worden ist, rechnet man mit folgender Formel weiter: s(Strecke) = 0,5·a·t²(Zeit). . Mit dieser Formel kann natürlich auch ein Zeitraum bestimmt werden, den man für eine bestimmte Strecke benötigt. Ebenfalls kann man die (End)geschwindigkeit nach einer bestimmten Zeit bestimmen mit: v = a·t
 

Ohne Vernachlässigung der Reibung:

Eine 1000kg schweres Auto rollt eine schiefe Ebene (mit einem Winkel von 20° gegenüber der Horizontalen) runter. Gesucht ist nun die Beschleunigung a,  mit der das Auto die schiefe Ebene herunterrollt (in diesem Beispiel soll eine Gleitreibung von m = 0,01 berücksichtigt werden).

Lösung

  • Die Reibungskraft und die Hangabtriebskraft wirken entgegengesetzt, d.h. für die resultierende Kraft muss die Reibungskraft von der Hangabtriebskraft abgezogen werden. F = FH - FR .
  • Die Reibungskraft hängt von der Normalkraft FN ab. Deswegen muss erstmal die Normalkraft berechnet werden. FN = m·g.·cos(a ) = 9218 N. Für die Reibungskraft gilt FR = m ·FN = 92 N.
  • Die Hangabtriebskraft ist in obiger Aufgabe bereits bestimmt worden mit 3355 N, somit ist die resultierende Kraft 3355N - 92 N = 3263 N bzw. 3,3 kN


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