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Carnot´sche Wirkungsgrad von Wärmemaschinen

Allgemeines

Wärmemaschinen sind "Maschinen", die Wärme (die beispielsweise beim Verbrennen von Treibstoffen entsteht) in Arbeit umwandelt. Durch eine zusätzliche Kühlung kann eine Wärmemaschine periodisch Arbeit leisten. Der maximale Wirkungsgrad einer Wärmemaschine lässt sich mit Hilfe des ersten und zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik bestimmen. Die Gleichung zur Bestimmung des Wirkungsgrades einer Wärmemaschine wird auch Carnot´scher Wirkungsgrad bezeichnet.

Was sind Wärmemaschinen:

Wärmemaschinen sind "Maschinen", die Wärme (die beispielsweise beim Verbrennen von Treibstoffen entsteht) in Arbeit umwandelt. In der Regel geschieht dies dadurch, dass sich durch die Wärme ein heißes Gas (kann beispielsweise auch Wasserdampf sein) ausdehnt, dass sich in einem Kolben befindet und so eine Kraft auf den Kolben ausgeübt wird. 

Dies kann man sich beispielsweise so vorstellen, indem man auf einen Kolben ein Gewicht legt und den Kolben erwärmt, so dass sich die Luft im Inneren ausdehnt. Durch das Ausdehnen der Luft wird auch der Kolben (nach Oben) bewegt und somit wird das Gewicht angehoben. In diesem Fall wurde Wärmeenergie in potentielle Energie umgewandelt (Anheben des Gewichtsstücks).

In der "Praxis" arbeiten Wärmekraftmaschinen aber in einem kontinuierlichen (Kreis)prozess. Damit der oben beschrieben Vorgang (Anhaben des Gewichtsstücks) nicht nur einmal abläuft, sondern kontinuierlich, muss der Kolben (nach dem Erhitzen) wieder in die Ausgangslage "zurückgebracht" werden. Dazu muss die Luft im Kolben wieder abgekühlt werden, damit diese sich zusammenzieht. Daher benötigt jede Wärmemaschine auch eine Kühlung, damit diese kontinuierlich bzw. periodisch Arbeit verrichten kann


"Thermodynamische Gesetzmäßigkeiten" bei Wärmemaschinen

Bei einem einmaligen Anheben des Gewichtsstücks durch die "Wärmemaschine" kann im Idealfall die aufgenommene Wärme (durch das Erwärmen) vollständig in (mechanische) Arbeit umgewandelt werden. Erst durch den "Wärmefluss" kann Arbeit verrichtet werden.

Hier finden wir bereits die erste Gesetzmäßigkeit, die den Bau von Wärmemaschinen "beeinflusst", denn Wärme kann immer nur von einem System mit hoher Temperatur zu einem System mit niedrigerer Temperatur "fließen". Dies lässt sich mit der sogenannten "Entropie" begründen. Aller "natürlichen" Vorgänge laufen in einer Richtung ab und sind immer mit einer Zunahme von Entropie verbunden. Daher kann Wärme auch nur von warm nach kalt fließen.

Der "Carnot´sche Wirkungsgrad"

Dadurch, dass bei einer Wärmemaschine immer ein Kreisprozess vorliegt (und Wärme von "warm" nach "kalt" fließt), lässt sich nie vermeiden, dass ein Teil der zugeführten (Wärme)energie "verloren" geht. Um zu beurteilen, ob eine Wärmekraftmaschine "sinnvoll" arbeitet, kann man dessen Wirkungsgrad n berechnen. Der Wirkungsgrad n ist der Quotient aus gewonnener (mechanischer) Energie W und der vom einem heißen Reservoir (z.B. Wärmebad) abgegebene Wärme Q. Formel:n = W : Q

Damit ein sogenanntes Wärmereservoir für einen periodisch arbeitende Wärmekraftmaschine "verwendbar" ist, müssen eine oder mehrere Anforderungen erfüllt sein:

  • Aus dem Wärmereservoir wird (kontinuierlich) so viel Wärme zugeführt, wie an die Wärmekraftmaschine abgegeben wird.
  • Die (Wärme) Energie, die mit der Wärmekraftmaschine ausgetauscht wird ist sehr klein
  • Das Wärmereservoir ist sehr groß
Wie bereits oben erwähnt kann man nun den maximalen Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine mit Hilfe des ersten und zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik berechnen. Da Wärme Q von dem heißen System (Temperatur T) zu dem kalten System fließt (Temperatur T*), nimmt die Entropie in dem heißen System ab. Dies kann man folgendermaßen berechnen:  DS (heißes System) = - Q : T

Im Gegensatz dazu nimmt die Entropie im kalten System zu: DS (kaltes System)= - Q* : T*

Im Idealfall wird bei der Wärmeübertragung keine mechanische Arbeit verrichtet, daher die in diesem System der Energieerhaltungssatz Q* = - Q. Bezogen auf das kalte Reservoir ist Q* < 0.

Setzt man dies nun ein, erhält man [ DS (gesamt) = DS(heißes System) - DS(kaltes System)]

DS (gesamt) = (- Q : T) + (Q* : T*) = (-Q : T) + (Q : T*) = Q · [(1 : T*) - (1 : T)]

Diese Formel kann auch als Beleg für die Hauptsätze der Thermodynamik angesehen werden, da im heißen System die Temperatur T größer ist, als die Temperatur T* im kalten System, nimmt die Entropie zu.


Carnot´scher Wirkungsgrad
Nun betrachten wir noch die Berechnung des Carnot´schen Wirkungsgrades. Dazu bedienen wir uns fundamentaler Grundlagen der Wärmelehre. Die Arbeit W, die eine Wärmemaschine leisten kann, ist begrenzt durch die Entropiezunahme im kalten System. Für die Wärme Q*, die im kalten System ankommt, lässt sich berechnen durch Q* = -Q - W. Setzt man dies ein erhält man:

DS (gesamt) = (- Q : T) + (Q* : T*) = (- Q : T) + [(Q + W) : T*]

Führ man noch ein, dass die Entropiezunahme grösser 0 ist und gilt W = n · Q  gilt folgender Ausdruck

DS (gesamt) = (- Q : T) + [(Q + W) : T*] = Q · [(1: T*) - (n : T*) - (1 : T)] > 0

Da die Wärme Q positiv ist, muss auch die Klammer [(1: T*) - (n : T*) - (1 : T)] positiv sein, damit gilt

 n < [(T - T*) : T]

Hier hat Carnot die Gleichung für den maximalen Wirkungsgrad einer Wärmemaschine definiert. Die Gleichung lautet:

n = 1 - (T* :  T), wobei (T > T*)




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