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Mathematik Test - Differenzierbarkeit

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?


1) Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet, dass sich der Graph der Funktion sich ohne abzusetzen und ohne zu stoppen zeichen lässt. Der Graph hat also keine Kicke (graphische Lösung)
a) Ja
b) Nein
 

2) Für die Bestimmung der Differenzierbarkeit gilt, dass eine Funktion an der Stelle xo differenzierbar ist, wenn der Grenzwert der Sekantensteigung für die rechte oder linke Annäherung von x zu xo die gleiche Zahl ergibt. Anders ausgderückt: Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x0 differenzierbar, wenn die Ableitung an dieser Stelle eindeutig definiert ist, also eine Tangente existiert. Damit die Differenzierbarkeit überprüft werden kann, muss erst einmal getestet werden, ob die Funktion an der Stelle xo stetig ist (mathematische Lösung)
a) Ja

b) Nein
 

3) Übungsbeispiel1: Ist die Funktion f1(x) = 1/x an der Stelle x = 0 differenzierbar?
    Übungsbeispiel2: Ist die Funktion f2(x) = | x + 1 | an der Stelle x = -1 differenzierbar?

  • Antwort Beispiel1: f1(x) ist bei x = 0 nicht differenzierbar, da f1(x) an dieser Stelle nicht stetig ist. Einfacher könnte man sagen, die Funktion f1(x) ist an der Stelle x = 0 nicht definiert.
  • Antwort Beispiel2: f2(x) ist an der Stelle x = -1 nicht diferenzierbar, da der Graph an der Stelle einen Knick aufweist (graphische Lösung).
a) Ja
b) Nein
 

4) Den Satz aus Aufgabe 2 kann man auch mathematisch ausdrücken:

Formel Differenzierbarkeit

Nun soll mathematisch geprüft werden, ob f(x) = | x | an der Stelle x = 0 differenzierbar ist. Dazu muss man die Betragsfunktion auflösen in f(x) = -x für x<0 und f(x) = x für x>0. Viele werden die obig genannte Formel kennen, die nichts anderes ist, als die Ableitung an. Leiten wir also ab:

  • f(x) = -x       => f´(x) = -1
  • f(x) =   x      => f´(x) = 1
Wie man sieht, stimmt die linksseitige Ableitung mit der rechtsseitigen Ableitung nicht überein. Die Funktion ist also an der Stelle x = 0 differenzierbar.
a) Ja
b) Nein
 

5) Nochmals der Zusammenhang zwischen stetig und differenzierbar:

  • Jede stetige Funktion muss auch an allen Stellen differenzierbar sein
  • Jede Funktion, die an einer Stelle x0 differenzierbar ist, ist an dieser Stelle auch stetig.

 
a) Ja
b) Nein
 

 

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