Die Produktregel bzw. Quotientenregel für Ableitungen

Ganz einfach gesagt: Die Differentialrechnung untersucht das Steigungsverhalten von (Funktions)Graphen. So kann man auch die Ableitung auf einen Graphen übertragen, die (1.) Ableitung einer Funktion bzw. eines Graphen ist deren Steigungsverhalten (also, wie verändert sich der Graph). Der Sinn von Ableitungen ist in der Regel nicht das Lösen von Gleichungen, sondern Funktion bzw. Graphen charakterisieren zu können (z.B. “Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkt)”). Die 2. Ableitung gibt an, wie “gekrümmt” die Funktion ist. Weiteren Ableitungen sind für die Charakterisierung der Ausgangsfunktion nicht mehr aussagekräftig bzw. ohne Bedeutung.

Ableitungen werden überall dort verwendet, wo die Änderung einer Größe von der gleichen Größe selbst abhängt.
Beispiele:

• Die Funktion f beschreibt den Ort, dann beschreibt die f´ die Änderung des Ortes und das ist nichts anderes, als die Geschwindigkeit
• Die Funktion f beschreibt die Größe eine Bevölkerung, dann beschreibt f´deren Änderung und das ist nichts anderes als das Bevölkerungswachstum. Allgemein beschreibt die Funktion f eine Größe und f´die Änderungsrate dieser Größe

Wie funktioniert “Differenzieren” (Ableiten)?

Zum Differenzieren von Funktionen kann man die Potenz- (f(x) =a·xⁿ) bzw. Summenregel (f(x) =a·xⁿ + b·x^m) für einfache Funktionen verwenden. Für schwierigere Fälle benötigt man die Produkt- bzw. Quotientenregel (f(x) = u(x) · v(x)), manchmal auch die Kettenregel (f(x) = (x + b)ⁿ). Daneben gibt es noch einzelne Funktionen, deren Ableitung (Lösung) man auswendig lernen muss.

Die Anwendung der Produktregel

Wie in der Einleitung beschrieben, ist die Produktregel in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung und dient zum Ableiten von einfachen Funktionen des Typs: f(x) = f(x) = u(x) · v(x). Die Produktregel führt die Ableitung eines Produktes von Funktionen auf das Modell der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück und damit auf das Modell der Potenz- bzw. Summenregel. Man verwendet sie immer dann, wenn eine Funktion in der Form Term mit x” mal “Term mit x vorliegt.

Die der Produktregel zugrundeliegende Formel ist relativ einfach:

Formel für die Produktregel

Eine der zwei Faktoren (u(x) oder (v(x) wird also jeweils abgeleitet und mit dem anderen Faktor (der nicht abgeleitet wurde) multipliziert.
Anschließend werden diese beiden Terme dann addiert.

Die Produkregel lässt sich auch für die Produkte von drei Funktionsgliedern anwenden:

Anwendung der Produktregel

Die Anwendung der Quotientenregel:
Wie in der Einleitung beschrieben, ist die Quotientenregel in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung und dient zum Ableiten von einfachen Funktionen des Typs: f(x) = f(x) = u(x) : v(x). Man verwendet sie immer dann, wenn eine Funktion in der Form Term mit x” geteilt durch “Term mit x vorliegt. Die Verwendung dieser Ableitungsregel liegt wird also immer dann verwendet, wenn der Funktionsterm in Bruchform vorliegt und ermöglicht das Bilden einer Ableitung vom Quotienten zweier Funktionen.

Die der Quotientenregel zugrundeliegende Formel:

Formel für die Quotientenregel

Anmerkung:

• Angemerkt sei, dass sich die Quotienten- wie auch die Produktregel immer anwenden lassen. Jedoch ist es nicht immer sinnvoll, die Quotientenregel zu verwenden (wenn ein Bruchterm) vorliegt, da viele Funktionen sich leichter ableiten lassen (Gelegentlich kann durch Umformen erreicht werden, dass nur die Potenzregel benötigt wird). Beispiel: F(x) = 2 : x² = 2 · x^–²

---

Die Produktregel bzw. Quotientenregel für Ableitungen – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist die Produktregel in der Differentialrechnung?

Die Produktregel ist eine Regel der Differentialrechnung, die es ermöglicht, die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen zu berechnen. Sie lautet: (u * v)’ = u’ * v + u * v’.

2. Wie lautet die Quotientenregel in der Differentialrechnung?

Die Quotientenregel ist ebenfalls eine Regel der Differentialrechnung und gibt an, wie man die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen berechnet. Sie lautet: (u / v)’ = (u’ * v – u * v’) / v².

3. Wann verwendet man die Produktregel und wann die Quotientenregel?

Die Produktregel wird verwendet, wenn man das Produkt zweier Funktionen ableiten möchte. Die Quotientenregel wird hingegen angewendet, wenn man den Quotienten zweier Funktionen ableiten möchte.

4. Angenommen, u(x) = 5x² und v(x) = 3x. Wie berechnet man die Ableitung des Produkts u * v mit der Produktregel?

Mit der Produktregel berechnet man zunächst die Ableitungen von u und v, u’ = 10x und v’ = 3. Dann setzt man diese in die Produktregel ein: (u * v)’ = u’ * v + u * v’ = 10x * 3x + 5x² * 3 = 30x² + 15x² = 45x².

5. Angenommen, u(x) = 6x² und v(x) = 2x. Wie berechnet man die Ableitung des Quotienten u / v mit der Quotientenregel?

Mit der Quotientenregel berechnet man zunächst die Ableitungen von u und v, u’ = 12x und v’ = 2. Dann setzt man diese in die Quotientenregel ein: (u / v)’ = (u’ * v – u * v’) / v² = (12x * 2x – 6x² * 2) / (2x)² = (24x² – 12x²) / 4x² = 12x² / 4x² = 3.

6. Kann man die Produktregel und Quotientenregel auch für Funktionen mit mehr als zwei Faktoren bzw. Nennern anwenden?

Ja, die Produktregel und Quotientenregel lassen sich auch auf Funktionen mit mehr als zwei Faktoren bzw. Nennern anwenden. Dabei geht man schrittweise vor und wendet die Regeln jeweils auf zwei Faktoren bzw. Nenner an.

7. Was ist der Unterschied zwischen der Produktregel und der Quotientenregel?

Der Unterschied liegt in der Art der zu ableitenden Funktion: Die Produktregel wird auf das Produkt zweier Funktionen angewendet, die Quotientenregel auf den Quotienten zweier Funktionen. Die Formeln unterscheiden sich entsprechend.

8. Was versteht man unter einer “inneren Ableitung” in der Produkt- bzw. Quotientenregel?

Die “innere Ableitung” bezieht sich auf die Ableitung der Funktionen u und v in der Produktregel bzw. Quotientenregel. Diese inneren Ableitungen werden in die Formeln eingesetzt, um die Ableitung des gesamten Produkts bzw. Quotienten zu berechnen.

9. Wie würden Sie die Produktregel und Quotientenregel graphisch anschaulich machen?

Graphisch kann man die Produktregel und Quotientenregel durch Zeichnen der Funktionen u und v und ihrer Ableitungen u’ und v’ und des daraus resultierenden Produkts bzw. Quotienten darstellen. Die Steigung der Tangenten an den Graphen entspricht dabei den Ableitungen.

10. Warum sind die Produktregel und Quotientenregel wichtige Werkzeuge in der Differentialrechnung?

Die Produktregel und Quotientenregel sind wichtige Werkzeuge in der Differentialrechnung, da sie es ermöglichen, komplexere Funktionen, die aus Produkten bzw. Quotienten simpler Funktionen bestehen, zu differenzieren. Dadurch erweitern sie das Spektrum der Funktionen, die man ableiten kann, erheblich.