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Ableitungsregeln - Grundlagen

Allgemein über Ableitungsregel:

Die Ableitung von Funktionen ist nicht nur eine wichtige Rechenoperation in der Mathematik, sondern auch in allen naturwissenschaftlichen Fächern. So wird beispielsweise die "Reaktionsgeschwindigkeit" in der Chemie die Ableitung der Reaktionskoordinate nach der Zeit. Die Geschwindigkeit in der Physik ist ebenfalls eine Ableitung, nämlich die Strecke nach der Zeit.

Warum das "Ableiten" einer Funktion oft "Schwierigkeiten" macht, liegt daran, dass es verschiedene Regeln gibt, um eine Funktion abzuleiten. Die Ableitungsregel ist abhängig vom "Funktionstyp"

Welche Ableitungsregeln gibt es

Die bekanntesten Ableitungsregeln sind die Potenzregel, die Summen/Differenzregel, die Produkt/Quotientenregel und die schwierigste, die Kettenregel. Einfache Funktionen kann man mit der Potenz- (f(x) =a·xn) bzw. Summenregel (f(x) =a·xn + b·xm) lösen. Für schwierigere Fälle benötigt man die Produkt- bzw. Quotientenregel (f(x) = u(x) · v(x)). Liegt eine "verschachtelte" Funktion vor ("die Funktion einer Funktion") vor, wird auch die Kettenregel (f(x) = (x + b)n) angewandt. Daneben gibt es noch einzelne Funktionen, deren Ableitung (Lösung) man auswendig lernen muss.  

Die Anwendung der Summen- und Differenzenregel beim Ableiten:

Die Summenregel wird beim Ableiten einer Summe von Funktionen angewendet. Dabei darf die Funktion gliedweise abgeleitet werden. Bei der Anwendung wird die Potenzregel verwendet.  Dabei gilt: die Ableitung von y = xn ist y' = n · xn-1.

  • Die der Summen- und Differenzenregel zugrundeliegende Formel ist:  f(x) = xn + (bzw. -) xm    =>   f´(x) = n · xn-1  + (bzw. -) m · xm-1
  • Wird verwendet beim Ableiten einer Summe bzw. Differenz von Funktionen
  • Link Potenzregel

Die Anwendung der Produktregel beim Ableiten:

Die Produktregel wird beim Ableiten eines Produktes von Funktionen angewendet. Dabei darf die Funktion nicht gliedweise abgeleitet werden

  • Die der Produktregel zugrundeliegende Formel ist:  f(x) = u(x) · v(x)   =>   f´(x) = u`(x)·v`(x) + u(x)·v`(x)
  • Wird verwendet beim Ableiten, wenn eine Funktion in Form von Produkten vorliegt
  • Link Produktregel

Die Anwendung der Quotientenregel beim Ableiten:

Die Quotientenregel wird beim Ableiten einer Division von Funktionen angewendet. Dabei darf die Funktion nicht gliedweise abgeleitet werden

  • Die der Quotientenregel zugrundeliegende Formel ist:  f(x) = u(x) : v(x)   =>   f´(x) = (1 : v(x)²) ·  [u`(x)·v`(x) - u(x)·v`(x)].
  • Wird verwendet beim Ableiten, wenn eine Funktion in Form eines Quotienten (eines Bruches) vorliegt

Die Anwendung der Kettenregel beim Ableiten:

Die Kettenregel  in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung und dient zum Ableiten von Funktionen des Typs: f(x)= u(v(x)). Die Kettenregel führt die Ableitung einer Verkettung von Funktionen auf das Modell der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück und damit auf das Modell der Potenz- bzw. Summenregel.
 

  • Die der Kettenregel zugrundeliegende Formel ist:  f(x) = u(v(x))   =>   f´(x) = u`(v(x))·v`(x)
  • Wird verwendet beim Ableiten, wenn verschachtelte Funktionen vorliegen
  • Link Kettenregel

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Spezielle Regeln beim Ableiten:

Es gibt aber spezielle Funktionen, für die keine Ableitungsregeln anwendbar sind. Die Ableitungen dieser Funktionen müssen auswendig gelernt werden. Beispiele für solche Funktionen sind:  sin(x), cos(x)

 

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