Differentialgleichungen – 2. Ordnung

Das Lösen von Differentialgleichungen ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften.
Grundsätzlich unterscheidet man nach gewöhnlicher und partieller Differentialgleichung, wobei die Zahl der auftretenden Variablen zur Unterscheidung verwendet wird:

• Gewöhnliche Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt nur von einer Variablen ab (y’ = f(x))
• Partielle Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt von mehreren Funktionen bzw. Variablen ab (y’ = f(x)·g(y))

Daneben existieren noch die Bernoulli-Differentialgleichungen (y’ = f(x)y + h(x)yr) und die Ricatti-Differentialgleichungen (y’ = f(x) + g(x)y + h(x)y)

Die Differentialgleichung 2. Ordnung

Zusätzlich lässt sich eine Differentialgleichung auch nach der höchst vorkommenden Ableitung einteilen (Einteilung nach der Ordnung):
Beispiel: a·y´´ + b·y´ + c·y = 0, hier handelt es sich um eine Differentialgleichung 2. Ordnung, da die höchst vorkommende Ableitung die zweite Ableitung ist (deswegen 2. Ordnung). Daneben kann man -wie auch den Differentialgleichungen 1. Ordnung – in homogen und inhomogen unterteilen. Liegt einer Gleichung in der Form a·y´´ + b·y´ + c·y = 0 vor, so handelt es sich um eine homogene Differentialgleichung.

Lösungsverfahren für Differentialgleichungen 2. Ordnung

Hier sei nochmals erwähnt, dass sich nur einige Typen von Differentialgleichungen analytisch lösen lassen. Nachfolgend soll das Lösungsverfahren für homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (allg. Form ay´´ + by´ + cy = 0) vorgestellt werden.

Beispiel: y´´ – 8y´ + 15y = 0.

• 1. Schritt: Aufstellen einer charakteristischen Gleichung, mit deren Hilfe die Differentialgleichung auf die Lösung einer Polynomgleichung zurückgeführt werden kann. Hierbei bezeichnet man die “y” mit einer neuen Variablen (z.B. K) und ordnet dem “K” eine Hochzahl zu, die der Ableitungsordnung des zugehörigen “y” entspricht (z.B. Hat man eine 2. Ableitung von “y” (y´´), so erhält das “K” die Hochzahl 2) und man erhält aus der Differentialgleichung eine quadratische Gleichung, die man relativ leicht lösen kann.

y´´ – 8y´ + 15y = 0 wird zu K² -8K¹ + 15K⁰ = 0

Aus den Grundlagen der Mathematik ist bekannt: K¹ = K und K⁰ = 1
Somit erhält man K² – 8K + 15 = 0

• 2. Schritt: Lösung der quadratischen Gleichung

K₁ = 5
K₂ = 3

• 3. Schritt: Richtige Lösungsformel auswählen (hierfür benötigt man die Ergebnisse für K_1/2 aus Schritt 2).

F(x) = y = c₁e^K1x+ c₂e^K2x (Gleichung 1)
F(x) = y = (c₁x + c₂)·e^Kx (Gleichung 2)

Hat man im 2. Schritt zwei verschiedene (reelle) Lösungen, so ist Gleichung 1 die richtige, hat man nur eine reelle Lösung, so ist Gleichung 2 die allgemeine Lösung.

Lösung: y = c₁e^K1x + c₂e^K2x

• 4. Schritt: Einsetzen in der Werte für K₁ und K₂ in die allgemeine Lösung.

Lösung: y = c₁e^5x + c₂e^3x

• 5. Schritt: Die Lösung einer Differentialgleichung mithilfe der eben gezeigten Verfahren kann im Allgemeinen nicht die Gleichung selbst eindeutig bestimmen (deswegen c = Konstante), sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte zu exakten Bestimmung (=> Anfangswertproblem (AWP)).

Differentialgleichungen – 2. Ordnung – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung?

Eine Differentialgleichung 2. Ordnung ist eine Gleichung, die die zweite Ableitung einer Funktion beinhaltet.

2. Wie sieht die allgemeinste Form einer Differentialgleichung 2. Ordnung aus?

Die allgemeinste Form einer Differentialgleichung 2. Ordnung sieht folgendermaßen aus: a(x)y” + b(x)y’ + c(x)y = f(x), wobei a(x), b(x), c(x) und f(x) Funktionen von x sind und y” und y’ die zweite bzw. erste Ableitung von y nach x bezeichnen.

3. Was ist eine homogene Differentialgleichung 2. Ordnung?

Eine homogene Differentialgleichung 2. Ordnung ist eine Differentialgleichung der Form a(x)y” + b(x)y’ + c(x)y = 0, bei der die rechte Seite gleich Null ist.

4. Was ist eine inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung?

Eine inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung ist eine Differentialgleichung der Form a(x)y” + b(x)y’ + c(x)y = f(x), bei der die rechte Seite ungleich Null ist.

5. Wie löst man eine Differentialgleichung 2. Ordnung?

Die Lösung einer Differentialgleichung 2. Ordnung kann durch verschiedene Methoden erfolgen, einschließlich Trennung der Variablen, Verwendung der Charakteristikpolynome oder Anwenden spezieller Techniken wie Variation der Konstanten.

6. Was ist das Charakteristikum der Differentialgleichung 2. Ordnung?

Das Charakteristikum einer Differentialgleichung 2. Ordnung ist die Lösung der charakteristischen Gleichung, die man erhält, indem man jede Ableitung der Differentialgleichung durch einen Term ersetzt, der proportional zur Potenz der Ableitung ist.

7. Was sind die Lösungen einer homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten?

Die Lösungen einer homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten sind Funktionen der Form Ce^(rx), wobei C und r Konstanten sind und r die Wurzeln des Charakteristikums sind.

8. Was ist das Partikulärlösungsverfahren bei inhomogenen Differentialgleichungen 2. Ordnung?

Das Partikulärlösungsverfahren ist eine Methode zur Lösung inhomogener Differentialgleichungen 2. Ordnung. Man sucht eine spezielle Lösung der Differentialgleichung, die sogenannte Partikulärlösung, und kombiniert sie mit der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.

9. Wie prüft man, ob eine gegebene Funktion eine Lösung einer spezifischen Differentialgleichung 2. Ordnung ist?

Um zu prüfen, ob eine gegebene Funktion eine Lösung einer spezifischen Differentialgleichung 2. Ordnung ist, ersetzt man die Funktion und ihre Ableitungen in die Differentialgleichung. Wenn die Gleichung erfüllt ist, ist die Funktion eine Lösung.

10. Was sind Anwendungsbeispiele von Differentialgleichungen 2. Ordnung in der Physik?

Beispiele für Anwendungen von Differentialgleichungen 2. Ordnung in der Physik beinhalten das harmonische Oszillator-Problem, das Schwingungsverhalten eines Pendels und die Bewegungsgleichungen in der Mechanik.