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Arten von Differentialgleichungen - Einteilung von DGL

Differentialgleichungen sind nicht immer einfach zu lösen. Für viele Arten von Differentialgleichungen gibt es aber allgemeine "Schemata", um diese Art von Differentialgleichung zu lösen. Daher ist es wichtig, eine vorliegende Differentialgleichung nach ihrem Aufbau zu unterscheiden (beispielsweise Differentialgleichung 1. oder 2. Ordnung, lineare oder nicht-linerare Differentialgleichung). In dem folgenden Kapitel werden nun die grundlegenden Arten bzw. Unterscheidungsmerkmale von Differentialgleichungen vorgestellt.

  • Explizite oder implizite Darstellung einer Differentialgleichung

In der Physik (in Anlehnung an die Newtonschen Gesetze) "schreibt" man vielfach eine Differentialgleichung beginnend mit der höchsten Ableitung. Allgemein wird eine Differentialgleichung als explizit, wenn sie nach der höchsten Ableitung "umgestellt" ist

y′ = 2y + 3x (=> explizite Form)

Explizit bedeutet also, dass die höchste vorkommende Ableitung auf einer Seite der Gleichung alleine steht. Alle anderen Formen einer Differentialgleichung werden als implizit bezeichnet.


  • Variablen einer Differentialgleichung - gewöhnliche oder partielle Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung kann eine unterschiedliche Zahl von Variablen haben. Kommt in einer Differentialgleichung nur Ableitungen nach einer Variablen vor, wird die Differentialgleichung als gewöhnlich bezeichnet. Das bedeutet, die abgeleitete Funktion ist nur von einer Variablen abhängig. Ist dies nicht der Fall, wird die entsprechende Differentialgleichung als partiell bezeichnet.

y′ + 3x = 2y (=> gewöhnliche Form)

Bei einer partielle Differentialgleichung liegt eine Gleichung vor, die eine unbekannte Funktion mehrerer Variabler mit einer oder mehrerer Ableitungen enthält.

  • Lineare und nicht-lineare Differentialgleichung
Differentialgleichungen lassen sich noch in lineare und nicht-lineare Differentialgleichungen unterteilen.

y′ = y + y′ + y″ (lineare Differentialgleichung)
y′ = y² (nicht-lineare Differentialgleichung)

Nicht-lineare Differentialgleichungen liegen vor, wenn die Ableitungen (oder die Funktion) in der Differentialgleichung

  • in einer Potenz vorkommt, z.B. (y′′)²
  • Funktion bzw. Ableitung und Ableitung miteinander multipliziert werden: y′·y′′
  • nicht-linearen Funktionen in der Differentialgleichung vorkommen, z.B. Sinus-Funktion


  • Unterschiedliche Variablen in einer Differentialgleichung - homogene oder inhomogene Differentialgleichung
Diese Art der Unterscheidung verwendet man nur bei linearen Differentialgleichungen. So unterscheidet man bei linearen Differentialgleichungen zwischen homogener und inhomogener Differentialgleichung

y′ + 3x = 2y (=> inhomogene Form)
y′ = 2y (=> homogene Form)

Homogene Differentialgleichungen enthalten neben der Funktion bzw. deren Ableitungen keine weiteren "Störfunktionen".