Die partielle Differentialgleichung – Lösungsverfahren

Das Lösen von Differentialgleichungen ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften.
Grundsätzlich unterscheidet man nach gewöhnlicher und partieller Differentialgleichung, wobei die Zahl der auftretenden Variablen zur Unterscheidung verwendet wird:

• Gewöhnliche Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt nur von einer Variablen ab (y’ = f(x))
• Partielle Differentialgleichung: die gesuchte Funktion hängt von mehreren Funktionen bzw. Variablen ab (y’ = f(x)·g(y))

Daneben existieren noch die Bernoulli-Differentialgleichungen (y’ = f(x)y + h(x)yr) und die Ricatti-Differentialgleichungen (y’ = f(x) + g(x)·y + h(x)y)

Lösung einer Differentialgleichung

Die Lösung einer Differentialgleichung kann im Allgemeinen nicht durch die Gleichung selbst eindeutig bestimmt werden, sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte zu exakten Bestimmung. Daher ist es nicht möglich, eine allgemein gültige Lösungsmethodik anzugeben. Nur für gewöhnliche, integrable Differentialgleichungen existiert ein allgemeines Lösungsverfahren.
Folgende Lösungsverfahren sind möglich:

• Für gewöhnliche Differentialgleichungen benutzt man die Umkehrung des Differenzierens, in dem man die Stammfunktion aufsucht und so die Differentialgleichung  integriert. Die Lösungsfunktion ist dann einfach die Stammfunktion der Differentialgleichung. Beispiel: f´(x) = 4, dann ist die Stammfunktion F(x) = 4x + C und somit die Lösung der Differentialgleichung.
• Partielle Differentialgleichungen werden in erster Linie durch Trennung der Variablen und spätere Integration gelöst.

Die partielle Differentialgleichung

Wie oben schon beschrieben, hängt die partielle Differentialgleichung von mehreren Funktionen bzw. Variablen ab. Genauso wie bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen gibt es auch hier die Begriffe “homogen” und “inhomogen”. Eine Differentialgleichung heißt homogen, wenn die keine sog. Störfunktion
aufweist (Beispiel: y´(x) + f(x) + g(y) = 0 => homogen). Ist dies jedoch der Fall, nennt man sie inhomogen. Zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen kann man auf die Regel der Produktableitung zurückgreifen.

Rückgriff auf die Regel der Produktableitung

Bei “geschicktem” Umwandeln der gegebenen Differentialgleichung in ein u(x) bzw. v(x) kann die partielle Differentialgleichung leicht gelöst werden. Ziel ist es dabei, dass u´(x) eine Zahl ist, und so leicht integriert (Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen) werden kann.

Beispiel:

Lösungsverfahren

Die Lösung einer Differentialgleichung mithilfe der eben gezeigten Verfahren kann im Allgemeinen nicht die Gleichung selbst eindeutig bestimmen (deswegen C = Konstante), sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte zu exakten Bestimmung.

Die partielle Differentialgleichung – Lösungsverfahren – Testfragen/-aufgaben

1. Was versteht man unter einer partiellen Differentialgleichung (PDE)?

Unter einer partiellen Differentialgleichung versteht man eine Gleichung, die die Beziehung zwischen einer unbekannten Funktion und ihren partiellen Ableitungen darstellt.

2. Welche Form hat eine allgemeine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Eine allgemeine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung hat die Form Au_xx + 2Bu_xy + Cu_yy + Du_x + Eu_y + F = 0, wobei u die gesuchte Funktion und A, B, C, D, E und F Funktionen der unabhängigen Variablen sind.

3. Nennen Sie zwei Arten von partiellen Differentialgleichungen.

Zwei Arten von partiellen Differentialgleichungen sind lineare und nichtlineare partielle Differentialgleichungen.

4. Was ist der Unterschied zwischen einer linearen und einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung?

Der Unterschied liegt darin, dass bei linearen partiellen Differentialgleichungen die gesuchte Funktion und ihre Ableitungen nur bis zur ersten Potenz auftreten, während bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen die gesuchte Funktion und ihre Ableitungen auch in höheren Potenzen oder Produktformen auftreten können.

5. Nennen Sie ein Beispiel für eine lineare partielle Differentialgleichung.

Ein Beispiel für eine lineare partielle Differentialgleichung ist die Wärmeleitungsgleichung.

6. Welche Lösungsstrategien gibt es für partielle Differentialgleichungen?

Es gibt verschiedene Lösungsstrategien für partielle Differentialgleichungen, darunter die Trennung der Variablen, die Methode der Charakteristiken und Numerische Methoden.

7. Nennen Sie ein Beispiel für eine Lösungsmethode für nichtlineare partielle Differentialgleichungen.

Ein Beispiel für eine Lösungsmethode für nichtlineare partielle Differentialgleichungen ist die Methode der Charakteristiken.

8. Was versteht man unter der Methode der Trennung der Variablen?

Unter der Methode der Trennung der Variablen versteht man eine Lösungsmethode, bei der man annimmt, dass die gesuchte Funktion als Produkt von Funktionen geschrieben werden kann, die jeweils nur von einer der unabhängigen Variablen abhängen.

9. Nennen Sie ein Anwendungsgebiet für partielle Differentialgleichungen

Ein Anwendungsgebiet für partielle Differentialgleichungen ist die Physik, wo sie beispielsweise in der Wärmeleitung, der Elektrostatik oder der Quantenmechanik vorkommen.

10. Was ist das Ziel beim Lösen einer partiellen Differentialgleichung?

Das Ziel beim Lösen einer partiellen Differentialgleichung ist es, eine Funktion zu finden, die alle in der Gleichung formulierten Bedingungen erfüllt. Oft sucht man eine Lösung, die auch bestimmte Randbedingungen erfüllt.