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Folgen und Reihen in der Mathematik - Grundlagen

Allgemeines über Folgen und Reihen:

Folgen und Reihen liegen nicht nur in der Mathematik vor, sondern auch in allen naturwissenschaftlichen Fächern. Dieses Kapitel soll daher als eine "einfache " Einführung in die Thematik "Folgen und Reihen" dienen. Folgen bzw. Zahlenfolgen kennen wir aus dem Alltag und Technik, vor allem wenn es um eine "Aufzählung" von Zahlen / Werten geht. Nicht jede Aufzählung von Zahlen (z.B. 1, 3, 4, 5) entspricht (mathematisch) einer Folge bzw. Zahlenfolge. Eine echte Folge bzw. Zahlenfolge liegt vor, wenn sich zwischen den Zahlen der Folge eine Gesetzmäßigkeit ableiten lässt. Das heißt, für jede Folge lässt sich eine "Formel" herleiten, nach der jedes Glied der Folge bestimmt werden kann. Die einfachste Folge ist daher 1,2,3,4,5 ...

Folgen und Reihen in der Naturwissenschaft:

Wie eingangs erwähnt, ist eine (echte) Folge bzw. Zahlenfolge nicht nur eine Aneinanderreihung von Zahlen, sondern eine Aneinanderreihung von Zahlen nach einer bestimmten Regel (Formel).  Daher können in einer Folge die Abfolge der Zahlen auch nicht geändert werden, die (richtig) Reihenfolge der Zahlen ist das, was eine Folge ausmacht. Den Umgang mit Folgen (und entsprechend Reihen) lernt man in der Mathematik, sind aber auch grundlegend für alle naturwissenschaftlichen Fächer.  

Mathematische Folgen

Damit eine Zahlenfolge vorliegt, muss eine Gesetzmäßigkeit zwischen den einzelnen Gliedern der Folge gelten. Die Grundrechenoperationen (Addition/Subtraktion und Multiplikation/Division), die wir kennen, implizieren bereits, dass es zwei Grundarten von Folgen gibt: zum einen die arithmetische Folge und zum anderen die geometrische Folge:

Arithmetische Folgen
Eine arithmetische Folge liegt vor, wenn die Differenz zweier benachbarter Glieder der Folge konstant ist. Ein Beispiel für eine solche arithmetische Folge ist die Zahlenfolge 1,2,3,4... Die Differenz zwischen zwei benachbarten Gliedern dieser Folge ist immer 1. Eine arithmetische Folge bzw. Zahlenfolge entsteht immer dann, wenn ein Glied der Folge durch Addition einer Konstante zum vorherigen Glied gebildet wird.

Eine arithmetische Folge lässt sich daher einfach erkennen, indem man die Differenz zweier benachbarter Glieder berechnet. Die Differenz zwischen allen benachbarten Glieder muss gleich bzw. konstant sein. Daher gilt für eine arithmetische Folge:  a(n+1) - an = k

Das n-te Glied einer arithmetischen Folge lässt sich dadurch berechnen, indem zum ersten Glied (n-1)-mal die Konstante dazu addiert wird.
an = a1 + (n - 1) · k


Geometrische Folgen
Eine geometrischen Folge liegt vor, wenn der Quotient zweier benachbarter Folgeglieder der Folge konstant ist. Ein Beispiel für eine solche geometrische Folge ist die Zahlenfolge 1,2,4,8... Der Quotient zwischen zwei benachbarten Gliedern dieser Folge ist immer 2. Eine geometrische Folge bzw. Zahlenfolge entsteht immer dann, wenn ein Glied der Folge durch Multiplikation des vorherigen Glieds mit einer Konstante gebildet wird.

Eine geometrische Folge lässt sich daher einfach erkennen, indem man den Quotient zweier benachbarter Glieder berechnet. Der Quotient zwischen allen benachbarten Glieder muss gleich bzw. konstant sein. Daher gilt für eine geometrische Folge:  a(n+1) : an = k



Das n-te Glied einer geometrischen Folge lässt sich dadurch berechnen, indem das erste Glied (n-1)-mal mit der Konstante multipliziert wird.
an = a1 · (n - 1) · k


Zusätzlich kann jede Folge weiter unterteilt werden, in konvergente und Divergente Folgen. Hat eine Folge einen (endlichen) Grenzwert, so wird diese Folge als konvergent bezeichnet. Verfügt die Folge über keinen endlichen Grenzwert, wird diese Folge als divergent bezeichnet.


Mathematische Reihen

Mathematisch gesehen ist eine Reihe eine (Ab)Folgen von Partialsummen einer Folge. Die Reihe ist also eine Summe von n-Gliedern einer Zahlenfolge. Analog zu den Folgen gibt es auch arithmetische und geometrische Reihen.

Am Beispiel einer arithmetischen Reihe, soll die Bildung einer Reihe gezeigt werden:

Liegt eine arithmetische Folge vor, so gilt a(n+1) - an = k
Hieraus lässt sich die arithmetische Reihe berechnen:  b =∑ ai  = a1 + a2 + a3...


Anwendung von Folgen und Reihen

Wie eingangs erwähnt, sind Folgen und Reihen nicht nur mathematische Konstrukte, sondern werden oft in naturwissenschaftlichen Fächern angegeben. Jedes Mal, wenn Zahlenwerte aneinandergereiht (z.B. bei Messungen) liegt u.U. eine Folge bzw. Reihe vor.
  • Im allgemeinem liegt eine arithmetische Folge vor, wenn die Differenz zwischen benachbarten Gliedern konstant ist. Die arithmetische Folge liegt also vor, wenn ein lineares Wachstum der Zahlenwerte (Messergebnisse) vorliegt.
  • Im allgemeinem liegt eine geometrische Folge vor, wenn der Quotient zwischen benachbarten Gliedern konstant ist. Die geometrische Folge liegt also vor, wenn ein exponentielles Wachstum der Zahlenwerte (Messergebnisse) vorliegt.


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