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Was ist eine Funktion (in der Mathematik)

Allgemein:

Eine Funktion stellt einen Zusammenhang zwischen zwei Elementen her (einer unabhängigen Variable und einer abhängigen Variable). Die Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Das Ziel dabei ist, die Eigenschaften einer Funktion herauszufinden, ohne diese graphisch lösen zu müssen (also zu zeichnen). Wichtige (zu bestimmende) Eigenschaften sind dabei: Extrempunkte, Wendepunkte, Nullstellen, Krümmungsverhalten und Symmetrie.
 

Funktion - was ist eine Funktion?

Mathematisch definiert ist eine Funktion eine Menge von Paaren (in der Regel mit x, y bezeichnet). Bei einer Funktion wird dabei jedem Element x aus der sogenannten Menge D (der Definitionsbereich, der Zahlenbereich für den die Funktion gültig ist) genau ein Element y aus der sogenannten Menge W (der Wertebereich) zugeordnet.

Die Elemente x, die in der Menge D enthalten sind, werden als "Argument", die Elemente y als Funktionswert der Funktion bezeichnet.Bei einer Funktion werden aber nicht zwei zufällige Paare x,y zusammengestellt, sondern es liegt ein sogenannter funktionaler Zusammenhang vor (daher auch der Name "Funktion". Zwischen beiden Elementen x und y muss ein Zusammenhang bestehen: z.B. Die Anzahl an Produkten x (die ich kaufe) und deren Kaufpreis y (den ich bezahlen muss). 

Eine Funktion gibt diesen Zusammenhang zwischen den beiden Elementen x und y wieder, wobei einer unabhängigen Variablen x eine von x abhängige
Variable y  zugeordnet wird (z.B. die Anzahl der Produkte x, die ich auswähle ist unabhängig - der Gesamtpreis y, den ich dafür bezahlen muss, ist nicht unabhängig, sondern hängt von der Anzahl der Produkte ab).


Hinweis: Die beiden Begriffe "Funktion f" und "Funktionswert f(x)" dürfen nicht miteinander verwechselt werden. Daher ist die Schreibweise f = x² nicht korrekt, sondern muss lauten f(x) = x².

Beispiel: Ich kaufe einen Stift (=> Variable x) und zahle einen Preis (=> Variable y) von 2 € je Stift. Die Funktion, die nun den Zusammenhang zwischen Anzahl Stifte und den Preis beschreibt, lautet  f(x) = y = 2x
  • Definitionsbereich D: Da ich keine negativen oder halben Stifte kaufen kann, ist die Anzahl der Stifte, die ich kaufe, eine natürliche Zahl. x∈ N