Untersuchungen von Funktionen

Im Kapitel “Ableitung” von Funktion ist bereits erwähnt worden, dass der Hauptzweck von Ableitungen der Charakterisierung von Funktionen bzw. deren Graphen dient. Diese Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Das Ziel dabei ist, die Eigenschaften einer Funktion herauszufinden, ohne diese graphisch lösen zu müssen (also zu zeichnen). Wichtige (zu bestimmende) Eigenschaften sind dabei: Extrempunkte, Wendepunkte, Nullstellen, Krümmungsverhalten und Symmetrie.

Notwendigkeit der Untersuchungen von Funktionen

Die Untersuchung von Funktionen (Kurvendiskussion) ist nicht nur eine elementare mathematische Methode, sondern findet auch außerhalb der Mathematik breite Anwendung, z.B. in der Chemie: der Verlauf einer Reaktion lässt sich beschreiben. Aber nicht nur in den MINT-Fächern stößt man immer wieder auf die Notwendigkeit, Graphen zu untersuchen bzw. zu interpretieren. Bestes Beispiel ist z.B. die Berechnung des Break-Even (in wirtschaftlichen Fächern), oft handelt es sich dabei um komplizierte Funktionen mit deren Hilfe berechnet werden soll, ab welcher Stückzahl man Gewinn macht.

Untersuchungen von Funktionen – Definitionsbereich und Nullstellen

Unter dem Definitionsbereich einer Funktion versteht man im Allgemeinen den maximalen Definitionsbereich der Funktion, also alle Zahlen, für die Variable (meist x) eingesetzt werden darf, damit die Berechnung sinnvoll bzw. ausführbar ist. Der Definitionsbereich (manchmal auch Definitionsmenge genannt) wird meistens mit “D” abgekürzt.
Nachfolgend sind einige Beispiele ausgelistet, in denen der Definitionsbereich (der Variable) auf jeden Fall eingeschränkt werden muss (Trigonometrische Funktionen, Addition, Subtraktion und Multiplikation benötigen keine Einschränkung des Definitionsbereiches).

• Eine Division durch Null ist nicht möglich. Steht eine Variable im Nenner eines Bruches, muss der Definitionsbereich eingeschränkt werden, da der Nenner nie Null werden darf.

• Wenn in einer Funktion ein Wurzelterm vorkommt, muss ebenfalls der Definitionsbereich eingeschränkt werden, denn eine Lösung für einen Wurzelterm ist nur möglich, wenn der Radikand nicht negativ ist (außer man rechnet mit komplexen Zahlen)

• Logarithmieren einer Variable ist nur möglich, wenn die Variable positiv ist.

Wie geht man an die Bestimmung des Definitionsbereiches heran?

• Man geht erst einmal von der maximalen Definitionsmenge aus, d.h. das schon zu Beginn der Aufgabe keine Einschränkung des Definitionsbereiches durch den Aufgabensteller erfolgt ist (z.B. nur alle positiven Zahlen). Der maximale Definitionsbereich ist die Menge aller reellen Zahlen R (sofern keine Einschränkung vorliegt.

• Als nächstes sind die einzelnen Funktionsterme zu untersuchen: Trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan), Addition, Subtraktion und Multiplikation benötigen keine Einschränkung des Definitionsbereiches (keine Bruchaddition, Subtraktion oder Multiplikation).

• Hat man einen Funktionsterm, der eine Einschränkung des Definitionsbereiches erfordert, muss man sich den Funktionsterm genauer ansehen. Hat man den Logarithmus einer Variable, sind für den Definitionsbereich der Variable keine negativen Zahlen erlaubt, das gleiche gilt für eine Variable unter einer Wurzel (Ausnahme: komplexe Zahlen). Liegt ein Bruchterm in der Funktionsgleichung vor, so darf der Nenner niemals Null sein. Beim Bestimmen des max. Definitionsbereiches setzt man den Nenner gleich Null und bestimmt die Lösung dieses Gleichungssystems. Alle Lösungen dieses Gleichungssytems sind nicht in dem Definitionsbereich erlaubt.

Nullstellen einer Funktion

Unter einer Nullstelle einer Funktion versteht man diejenigen x-Werte, die eingesetzt in eine Funktion f den Funktionswert Null liefern (Schnittstelle des Graphen mit der x-Achse, also nicht x = 0 einsetzen). Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, setzt man die Gleichung Null, als f(x) = 0. Somit erhält man ein Gleichungssystem, dass man mathematisch sehr einfach lösen kann.
Verfahren zur Lösung vn Gleichungssystemen:

• Äquivalenzumformung
• Quadratische Ergänzung

Siehe auch im Verzeichnis: Lösung von Gleichungssystem bei Lernort-Mint.de

Beispiele

• f(x) = x², für diese Funktion kann man alle reellen Zahlen für die Variable einsetzen.

• f(x) = log(x), für diese Funktion kann man nur alle positiven Zahlen für die Variable einsetzen.

• f(x) = 2:(x + 3), es handelt sich hier um einen Bruchterm, eine Einschränkung des Definitionsbereiches ist notwendig. Dazu wird der Nenner gleich Null gesetzt und nach der Variablen gelöst: x + 3 = 0 => x = -3. Somit darf man alle reellen Zahlen ausser -3 für die Variable einsetzen.

Untersuchungen von Funktionen – Testfragen/-aufgaben

1. Was versteht man unter der Analyse von Funktionen?

Die Analyse von Funktionen bezieht sich auf das Studium und die Untersuchung verschiedener Aspekte von mathematischen Funktionen. Dies kann das Auffinden von Nullstellen, Grenzwerten, Extrempunkten, Wendepunkten und das Zeichnen von Funktionsgraphen umfassen.

2. Was ist eine Nullstelle einer Funktion?

Eine Nullstelle einer Funktion ist ein Punkt, an dem die Funktion den Wert Null annimmt.

3. Was sind die Extrempunkte einer Funktion?

Extrempunkte einer Funktion sind die Höchst- und Tiefstpunkte im Verlauf einer Funktion. Sie bestehen aus Maximum- und Minimum-Werten.

4. Was ist ein Wendepunkt einer Funktion?

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, an dem die Funktion ihre Konkavität ändert. Dies bedeutet, dass die Form des Graphen bei diesem Punkt von einer “Schüssel”-Form zur Form eines “Hügels” (oder umgekehrt) wechselt.

5. Wie finde ich die Nullstellen einer Funktion?

Die Nullstellen einer Funktion können gefunden werden, indem die Funktion gleich null gesetzt und nach der Variablen aufgelöst wird.

6. Wie unterscheidet man zwischen lokalen und globalen Extrempunkten?

Lokale Extrempunkte sind Extrempunkte innerhalb einer bestimmten, begrenzten Region des Graphen, während globale Extrempunkte die höchsten und niedrigsten Punkte des gesamten Graphen darstellen.

7. Wie bestimmt man die Grenzwerte einer Funktion?

Die Grenzwerte einer Funktion werden durch Annäherung der Funktion an einen bestimmten Punkt oder gegen Unendlich bestimmt.

8. Wie bestimmt man die Ableitungen einer Funktion?

Die Ableitungen einer Funktion werden bestimmt, indem die Regeln der Differenzialrechnung angewendet werden, einschließlich der Potenzregel, Produktregel, Quotientenregel, und Kettenregel.

9. Was ist das Integral einer Funktion und wie wird es berechnet?

Das Integral einer Funktion ist der Bereich unter dem Graphen der Funktion und wird durch Anwendung der Regeln der Integralrechnung berechnet.

10. Wie bestimmt man das Verhalten der Funktion im Unendlichen?

Das Verhalten der Funktion im Unendlichen wird durch Analyse der Grenzwerte der Funktion bestimmt, wenn die variable gegen +/- unendlich läuft.