Graph einer Funktion zeichnen – Überblick

Wenn wir den Graphen einer Funktion in einem x,y-Koordinatensystem zeichnen wollen, benötigen wir den Definitionsbereich, den Wertebereich und x,y-Wertepaare. Im ersten Schritt bestimmen wir den Definitionsbereich und der Wertebereich der Funktion an. Der Definitionsbereich der Funktion gibt an, für welche x-Werte die Funktion definiert (also erlaubt) ist. So ist beispielsweise nicht “erlaubt” in einer Wurzelfunktion die Wurzel von negativen Werte zu “ziehen”. Der Wertebereich einer Funktion gibt an für welche y-Werte eine Funktion definiert ist. Der Wertebereich deutet uns bereits an, wie der Graph der Funktion zu zeichnen ist.

Definitionsbereiche der wichtigsten Funktionen

Hierzu lässt sich im ersten Schritt sagen, dass bei einfachen Funktionen wie Addition, Subtraktion und Multiplikation eine maximale Definitionsmenge aufweisen, d.h. jeder x-Wert ist zulässig. Bei einer Division liegt bereits eine Einschränkung vor, der Nenner darf niemals “Null” sein. Liegen komplizierte Funktionen wie Logarithmus- oder Wurzelfunktionen vor, muss der Definitionsbereich entsprechend berechnet werden

• Gebrochenrationale Funktionen: Eine “Null” im Nenners einer gebrochenrationalen Funktion ist nicht definiert. Daher ist entsprechende x-Wert (der zur 0 im Nenner führt) nicht im Definitionsbereich enthalten

• Wurzelfunktionen: Der Definitionsbereich setzt voraus, dass der Radikant (Wert unter der Wurzel) niemals negativ ist
• Bei Logarithmusfunktionen gilt ähnliches wie bei Wurzelfunktionen. Damit der Logarihtmus eines Wertes definiert ist, muss das Argument positiv ist (größer als 0) sein,

Beispiel:  Gegeben ist die Funktion f(x) = √ x

1. Schritt: Festlegen der Definitionsmenge und der Wertemenge

• Der Definitionsbereich einer Wurzelfunktion lautet:   D =ℝ₀₊, d.h. der Definitionsbereich liegt im Intervall [0; +∞[
• Der Wertebereich einer Wurzelfunktion lautet:   W= ℝ₀₊, d.h. der Wertebereich liegt im Intervall [0; +∞[

2. Schritt:  Aufstellen einer Wertetabelle

Aufstellen einer Wertetabelle

3. Schritt: Wertepaare in ein x,y-Diagramm einzeichnen

Einzeichnung der Wertepaare in ein x,y-Diagramm

4. Schritt: Verbinden der einzelnen Punkte im x,y-Diagramm zu einem zusammenhängenden Graphen

Verbindung der einzelnen Punkte im x,y-Diagramm

Graph einer Funktion zeichnen – Überblick – Testfragen/-aufgaben

1. Was versteht man unter dem Graphen einer Funktion?

Der Graph einer Funktion ist eine visuelle Darstellung aller Punkte (x, f(x)), die durch eine bestimmte Funktion gebildet werden.

2. Welche Achsen müssen auf einem Koordinatensystem vorhanden sein, um den Graphen einer Funktion zu zeichnen?

Ein Koordinatensystem muss mindestens über zwei Achsen verfügen – die x-Achse und die y-Achse.

3. Wie bestimmt man einen Punkt auf dem Graphen einer Funktion?

Ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion wird bestimmt, indem man einen Wert für x in die Funktion einsetzt und den entsprechenden Wert für y ausrechnet.

4. Welchen Zweck erfüllt das Zeichnen des Graphen einer Funktion?

Das Zeichnen des Graphen einer Funktion hilft dabei, die Eigenschaften der Funktion visuell darzustellen und zu verstehen.

5. Was versteht man unter der Nullstelle einer Funktion und wie wird sie auf dem Graphen ermittelt?

Eine Nullstelle ist ein Punkt, an dem der Graph die x-Achse schneidet. Sie wird ermittelt, indem man f(x) = 0 setzt und die Gleichung nach x auflöst.

6. Wie bestimmt man das Verhalten einer Funktion im Unendlichen und was zeigt es auf dem Graphen an?

Das Verhalten einer Funktion im Unendlichen wird bestimmt, indem man die Grenzwerte der Funktion für x gegen unendlich bzw. minus unendlich berechnet. Es zeigt an, ob der Graph der Funktion für sehr große oder sehr kleine x-Werte gegen einen bestimmten Wert strebt oder ob er unbeschränkt ist.

7. Was zeigt ein Extrempunkt auf dem Graphen einer Funktion an?

Ein Extrempunkt zeigt auf dem Graphen einer Funktion entweder ein lokales Maximum oder Minimum an, d.h. einen Punkt, an dem die Funktion mehr oder weniger Wert hat als an allen unmittelbar benachbarten Stellen.

8. Wie wirkt sich eine Verschiebung der Funktionsschar auf den Graphen aus?

Eine Verschiebung der Funktionsschar führt dazu, dass der gesamte Graph entlang der x- oder y-Achse verschoben wird. Das ändert die Position des Graphen, aber nicht seine Form.

9. Wie wirkt sich eine Streckung oder Stauchung der Funktionsschar auf den Graphen aus?

Eine Streckung oder Stauchung der Funktionsschar ändert die Form des Graphen. Bei einer Streckung wird der Graph in Richtung einer der Achsen “ausgedehnt”, bei einer Stauchung wird er “zusammengedrückt”.

10. Wie ermittelt man die Schnittpunkte zweier Graphen?

Die Schnittpunkte zweier Graphen ermittelt man, indem man die beiden entsprechenden Funktionen gleichsetzt und nach x auflöst.