Eine Funktion stellt einen Zusammenhang zwischen zwei Elementen her (einer unabhängigen Variable und einer abhängigen Variable). Die Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Ein Untersuchungskriterium einer Funktion ist die Bestimmung der Krümmung der Funktion. Die Krümmung eines Funktionsgraphen kann linksgekrümmt (konvex) oder rechtsgekrümmt (konkav) sein, wobei ein Krümmungswechsel uns einen sogenannten Wendepunkt im ursprünglichen Graphen anzeigt.
In einem anderen Kapitel haben wir uns mit der Steigung einer Funktion beschäftigt (die Steigung ist nichts anderes, als der sogenannte Differentialquotient, den man beispielsweise bei der Bestimmung der Geschwindigkeit benötigt v = (s2-s1):(t2-t1)). Mathematisch ist die Steigung einer Funktion f(x) nichts anderes als die erste Ableitung f´(x).
Die Steigung einer Funktion gibt also an, wie schnell sich die Funktionswerte ändern. Ist die (positive) Steigung einer Funktion sehr groß, steigen auch die Funktionswerte y mit zunehmendem x-Wert stark an. Nun kann man das gleiche mit der Steigung machen (die auch wiederum eine Funktion ist). Bildet man den Differentialquotienten der Steigung, so zeigt einem dieses Verfahren, wie schnell sich die Steigungswerte der Funktion ändern. Würden wir das nun in eine Abbildung umsetzen, so stellen wir fest, dass die Änderung der Steigung nicht anderes ist, als die Krümmung der ursprünglichen Funktion. Ist die Steigung einer Funktion konstant, so kann dies nur bei einer (ansteigenden) Geraden sein und eine Gerade hat bekanntlich keine Krümmung.
Die Krümmung einer Funktion bzw. dessen Graphen an einer beliebigen Stelle gibt uns die Richtungsänderung an diesem Punkt an (so kann die Funktion bzw. der Graph an diesem Punkt rechtsgekrümmt oder linksgekrümmt sein, Ausnahme: Terassenpunkte)
Mit Hilfe der Krümmung einer Funktion bzw. des entsprechenden Graphen lässt sich nicht nur ermitteln, ob dieser linksgekrümmt (konvex) oder rechtsgekrümmt (konkav) ist, sondern auch, ob ein Wendepunkt in dem Graphen der ursprünglichen Funktion vorliegt.Liegt an einem beliebigen Punkt des Graphen ein Wechsel der Krümmung von Links- auf Rechtskrümmung (oder umgekehrt) vor, so liegt in diesem Punkt ein Wendepunkt vor.
Weiterführende Informationen zu der Bestimmung von Extremwerten und die Zuordnung Hochpunkt oder Tiefpunkt:
Mit Hilfe der 2. Ableitung einer Funktion kann aber nicht nur die Krümmung einer Funktion bestimmt werden, sondern auch die Zuordnung, ob es sich bei einem Extrempunkt um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt (siehe dazu Kapitel: Extremwerte).
Man kann die Extremwerte aber auch anderes klassifizieren. Nachdem man die 1. Ableitung einer Funktion “Null” gesetzt hat und die Nullstelle berechnet hat (die Nullstelle der 1. Ableitung zeigt einen Extremwert an dieser Stelle an). Nun kann man den so ermittelten x-Wert (aus der 1. Ableitung) in die 2. Ableitung einsetzen:
Die Krümmung einer Funktion beschreibt, wie stark die Funktion in einem bestimmten Punkt gekrümmt ist. Dies ist besonders wichtig für die Analyse der Form einer Funktion oder einer Kurve.
Man kann die Krümmung einer Funktion durch die Berechnung der zweiten Ableitung der Funktion bekommen. Eine positive zweite Ableitung deutet auf eine konvexe Kurve (nach oben gewölbt), während eine negative zweite Ableitung auf eine konkave Kurve (nach unten gewölbt) hinweist.
Bei einer konvexen Funktion liegt die Krümmung oberhalb der Tangente, während bei einer konkaven Funktion die Kurve unterhalb der Tangentenlinie liegt.
Die Kurvendiskussion ist ein unablässiger Bestandteil der Differentialrechnung und wird verwendet, um das Verhalten von Funktionen zu analysieren, insbesondere Extremstellen, Wendepunkte und die Krümmung einer Funktion.
Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Krümmung ihre Richtung ändert, also von konvex zu konkav oder umgekehrt wechselt.
Ein Wendepunkt wird ermittelt, indem man die zweite Ableitung der Funktion berechnet und diese gleich null setzt.
Ein Hochpunkt ist ein Punkt auf der Kurve, an dem die erste Ableitung gleich Null und die zweite Ableitung negativ ist. Ein Tiefpunkt ist ein Punkt, an dem die erste Ableitung gleich Null und die zweite Ableitung positiv ist.
Wenn die zweite Ableitung einer Funktion gleich null ist, kann dies auf einen Wendepunkt hindeuten. Allerdings muss für eine genaue Bestimmung die Funktion in der Nähe dieses Punktes weiter untersucht werden.
Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt an, ob die Funktion konvex (positives Vorzeichen) oder konkav (negatives Vorzeichen) ist.
Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Steigung an einem Punkt an. Die zweite Ableitung, zeigt an, wie diese Steigung sich ändert, was aussagt, wie die Funktion gekrümmt ist.