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Die Krümmung einer Funktion - Kurvendiskussion

Allgemein:

Eine Funktion stellt einen Zusammenhang zwischen zwei Elementen her (einer unabhängigen Variable und einer abhängigen Variable). Die Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Ein Untersuchungskriterium einer Funktion ist die Bestimmung der Krümmung der Funktion. Die Krümmung eines Funktionsgraphen kann linksgekrümmt (konvex) oder rechtsgekrümmt (konkav) sein, wobei ein Krümmungswechsel uns einen sogenannten Wendepunkt im ursprünglichen Graphen anzeigt.
 

Die Krümmung einer Funktion

In einem anderen Kapitel haben wir uns mit der Steigung einer Funktion beschäftigt (die Steigung ist nichts anderes, als der sogenannte Differentialquotient, den man beispielsweise bei der Bestimmung der Geschwindigkeit benötigt v = (s2-s1):(t2-t1)). Mathematisch ist die Steigung einer Funktion f(x) nichts anderes als die erste Ableitung f´(x). 

Die Steigung einer Funktion gibt also an, wie schnell sich die Funktionswerte ändern. Ist die (positive) Steigung einer Funktion sehr groß, steigen auch die Funktionswerte y mit zunehmendem x-Wert stark an. Nun kann man das gleiche mit der Steigung machen (die auch wiederum eine Funktion ist). Bildet man den Differentialquotienten der Steigung, so zeigt einem dieses Verfahren, wie schnell sich die Steigungswerte der Funktion ändern. Würden wir das nun in eine Abbildung umsetzen, so stellen wir fest, dass die Änderung der Steigung nicht anderes ist, als die Krümmung der ursprünglichen Funktion. Ist die Steigung einer Funktion konstant, so kann dies nur bei einer (ansteigenden) Geraden sein und eine Gerade hat bekanntlich keine Krümmung.

Die Krümmung einer Funktion bzw. dessen Graphen an einer beliebigen Stelle gibt uns die Richtungsänderung an diesem Punkt an (so kann die Funktion bzw. der Graph an diesem Punkt rechtsgekrümmt oder linksgekrümmt sein, Ausnahme: Terassenpunkte)

Mit Hilfe der Krümmung einer Funktion bzw. des entsprechenden Graphen lässt sich nicht nur ermitteln, ob dieser linksgekrümmt (konvex) oder rechtsgekrümmt (konkav) ist, sondern auch, ob ein Wendepunkt in dem Graphen der ursprünglichen Funktion vorliegt.Liegt an einem beliebigen Punkt des Graphen ein Wechsel der Krümmung von Links- auf Rechtskrümmung (oder umgekehrt) vor, so liegt in diesem Punkt ein Wendepunkt vor.


Weiterführende Informationen zu der Bestimmung von Extremwerten und die Zuordnung Hochpunkt oder Tiefpunkt:

Mit Hilfe der 2. Ableitung einer Funktion kann aber nicht nur die Krümmung einer Funktion bestimmt werden, sondern auch die Zuordnung, ob es sich bei einem Extrempunkt um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt (siehe dazu Kapitel: Extremwerte).

Man kann die Extremwerte aber auch anderes klassifizieren. Nachdem man die 1. Ableitung einer Funktion "Null" gesetzt hat und die Nullstelle berechnet hat (die Nullstelle der 1. Ableitung zeigt einen Extremwert an dieser Stelle an). Nun kann man den so ermittelten x-Wert (aus der 1. Ableitung) in die 2. Ableitung einsetzen:

  • Liefert die 2. Ableitung an dieser Stelle ein positives Vorzeichen, so liegt ein Tiefpunkt vor
  • Liefert die 2. Ableitung an dieser Stelle ein negatives Vorzeichen, so liegt ein Hochpunkt vor
  • Ist die 2. Ableitung an dieser Stelle "Null", so liegt ein Terassenpunkt vor.