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Exkurs: Relation und Funktion (in der Mathematik)

Allgemein über Zusammenhängen zwischen Wertepaaren:

In allen naturwissenschaftlichen Fächern wird die "Auswertung" von Daten benötigt, um z.B. Vorgänge oder Phänomene zu beweisen. Nicht nur in der Mathematik besteht daher die Aufgabe einer Menge von Werten (z.B. Streckenlänge) eine anderen Menge von Werten (z.B. Zeiträume) in Zusammenhang setzen. Das Ziel ist dabei, den Zusammenhang (oder eben kein Zusammenhang) zwischen zwei Variablen herzuleiten. Wie in der Einleitung erklärt, stellt eine Funktion einen Zusammenhang zwischen zwei Elementen her (einer unabhängigen Variable und einer abhängigen Variable). Die Frage, die sich hierbei stellt, wie sich eine Relation und Funktion unterscheidet, denn sowohl Relation als auch Funktion stellt einen Zusammenhang zwischen zwei Variablen her. Leider ist diese Frage etwas schwer zu beantworten, da ja nach Klassenstufe und Lehrplan teils unterschiedliche Unterscheidungen unterrichtet werden.
 

Relation und Funktion  - Unterschiede und Gemeinsamkeiten

Auch in der Mathematik ist es manchmal sehr hilfreich, die sprachlichen Wurzeln (griechisch, lateinisch) eines "Fachwortes" bei der Herleitung der Definition mit einzubeziehen. Der Begriff "Relation" lässt sich sinngemäß mit "Beziehung" wiedergeben. Diese Übersetzung definiert bereits den Begriff "Relation". Eine Relation stellt eine Beziehung zwischen einem bzw. mehreren Elementen aus einer Mengeund einem bzw. mehreren Elementen aus einer anderen Menge her.  Eine Relation zwischen zwei Mengen (z.B. Menge A und B) ist eine Teilmenge der zwei Mengen (A x B). Wie im einführenden Kapitel zur Mengenlehre erklärt bedeutet dies, dass eine Relation eine Menge von Wertepaare [z.b. (a, b)], wobei a ein Element der Menge A und b ein Element aus der Menge B ist.

Eine Funktion gibt ebenfalls Zusammenhang zwischen den zwei Elementen wieder (in der Regel werden die beiden Elemente mit x und y bezeichnet). Bei der Funktion wird dabei einer unabhängigen Variablen x eine von x abhängige Variable y  zugeordnet (z.B. die Anzahl der Produkte x, die ich auswähle ist unabhängig - der Gesamtpreis y, den ich dafür bezahlen muss, ist nicht unabhängig, sondern hängt von der Anzahl der Produkte ab). Daher sind nicht alle Relationen auch Funktionen

Aus den beiden Definitionen können wir den Unterschied zwischen "Relation" und "Funktion" ableiten, denn eine Funktion ist eindeutig (eine Relation hingegen nicht). Bei einer Funktion gibt es für jedes Element aus der Definitionsmenge einen Element aus dem Wertebereich. Daher spricht man bei Funktionen auch immer wieder von Abbildungen, denn für jeden x-Wert erhalten wir einen y-Wert als Ergebnis (eine Funktion ist "quasi" eine Rechenvorschrift, die ein Element einer Menge auf ein Element einer anderen Menge abbildet). Daher sagt man auch, dass eine Funktion eine Zuordnung, die jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnet. Manchmal hört man aber auch die Aussage, dass eine Funktion eine Relation ist, die eindeutig ist. Welche Aussage nun "korrekt" ist, hängt nun vom Lehrplan ab, grundsätzlich haben beide Aussagen den gleichen Aussagewert.

Nun hatten wir im letzten Absatz noch das Wort "Abbildung" erwähnt - eine Abbildung ist dabei die allgemeinste Form zwischen zwei Elementen zweier Mengen. Bei einer Abbildung liegt eine Menge (in der Regel die Definitionsmenge, aus dieser wird "abgebildet") vor und andere Menge (in der Regel als Wertemenge bezeichnet), in die abgebildet wird.