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Schnittpunkt zweier Funktionen

Allgemein:

Jeder physikalische oder chemische Vorgang lässt sich durch eine Funktion beschreiben (z.B. die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit der Zeit). Oft ist es von enormer wirtschaftlicher und technischer Bedeutung, zwei Funktionen zu vergleichen, besonders in Bezug auf "Gemeinsamkeiten". Die Gemeinsamkeit zweier Funktionen ist der sogenannte Schnittpunkt, wobei ein Schnittpunkt zweier Funktionen ein Punkt (in einem Koordinatensystem ist), in dem sich die beiden Funktionsgraphen schneiden.
 

Schnittpunkt zweier Funktionen

Die rechnerische Ermittlung, ob zwei Funktionsgraphen einen oder mehrere Schnittpunkte gemeinsam haben, ist relativ einfach. Man muss "einfach" beide Funktionen gleichsetzen und den bzw. die gemeinsamen x-Werte beider Funktionen bestimmen:

f1(x) = f2(x) => f1(x) − f2(x) = 0

Ob nun ein Schnittpunkt zweier Funktionen existiert, ermitteln wir mit folgenden drei Schritten.

  • Im ersten Schritt setzen wir beide Funktionen f1(x) und f2(x) gleich. Damit erhalten wir ein Gleichungssystem, dass wir durch Umstellen in f1(x) - f2(x) = 0 in eine Gleichung umwandeln. 
  • Im zweiten Schritt lösen wir wie in Kapitel "Gleichungen lösen" erläutert, die Gleichung nach der Variable x auf. Die Lösung dieser Gleichung (also x = ......) entspricht dem x-Wert, an dem sich beide Funktionsgraphen schneiden (Achtung: es können auch mehrere Schnittpunkte existieren).
  • Den x-Wert, den wir im zweiten Schritt ermittelt haben, setzen wir in die Funktion f1(x) oder f2(x) ein und erhalten so den Funktionswert (den y-Wert es Schnittpunkts)

Hinweis 1:  Die y-Werte der Schnittpunkte zweier Funktionen werden ermittelt, indem man den ermittelten x-Werte in eine der beiden Funktionen f1(x) oder f2(x) einsetzt. Da beide Funktionsgraphen den gleichen Funktionswert an dem Schnittpunkt haben, spielt es keine Rolle, in welche Funktion der x-Wert eingesetzt wird.

Hinweis 2: Im Allgemeinen gibt es keine maximale Anzahl der Schnittpunkte zweier Funktionen. Man kann allerdings bei verschiedenen Typen von Funkionen die max. Anzahl von Schnittpunkten angeben:

  • Zwischen zwei Geraden gibt es maximal 3 Möglichkeiten: keinen Schnittpunkt, wenn die Geraden pararell zueinander sind. Einen Schnittpunkt, wenn beide Geraden unterschiedliche Steigung haben und unendliche viele Schnittpunkte, wenn beide Geraden identisch sind.
  • Zwischen einer Geraden und einer Polynomfunktion ist die max. Anzahl der Schnittpunkte der Grad des Polynoms. Daher hat beispielsweise eine Parabel max. 2 Schnittpunkte mit einer Geraden gemeinsam.