Stetigkeit einer Funktion – Kurvendiskussion

Eine Funktion stellt einen Zusammenhang zwischen zwei Elementen her (einer unabhängigen Variable und einer abhängigen Variable). Die Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Ein Untersuchungskriterium einer Funktion ist die Bestimmung der Stetigkeit.

Die Stetigkeit einer Funktion

Den Begriff “stetig” bzw. “Stetigkeit” kann man anschaulich und mathematisch erklären. Die anschauliche Erklärung des Begriffes “Stetigkeit” einer Funktion kennt jeder mit der Aussage “der Graph einer Funktion macht keine Sprünge (d.h. der Funktionsgraph lässt sich (ohne Absetzen eines Stiftes) als durchgezogene Linie zeichnen).Ist dies nicht der Fall, ist die entsprechende Funktion nicht stetig.

Mathematisch ist der Begriff “stetig” etwas präziser definiert. Eine Funktion ist stetig, wenn die Funktion an allen Stellen stetig ist. Eine Stelle der Funktion ist stetig, wenn an dieser Stelle der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert gleich ist und dieser mit dem Funktionswert übereinstimmen. Eine Funktion ist also stetig, wenn die genannte Stetigkeitsbedingung für alle x-Werte des Definitionsbereichs erfüllt ist.

Die allermeisten Funktionen sind stetig, es gibt aber auch Funktionen, die nicht stetig sind. Dies kann folgenden Grund haben:

  • Die Funktion ist an einer Stelle nicht definiert (der x-Wert ist kein Element der Definitionsmenge)
  • Der Funktionswert ist an einer Stelle nicht definiert (es existiert an dieser Stelle kein Grenzwert)

Aus der mathematischen Definition der Stetigkeit bzw. der Stetigkeitsbedingung ergeben sich die “Nachweisregeln” für das Vorliegen einer Stetigkeit:

  • Alle x-Werte des Funktionsgraphens gehören zur Definitionsmenge
  • Es muss an jeder Stelle eine linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert existieren.
  • Dieser ermittelte Grenzwert muss mit dem Funktionswert an dieser Stelle übereinstimmen

Wie sicher die meisten erkannt haben, sind das auch die Regeln, die bei der Grenzwert-Berechnung verwendet werden. Daher werden diese Rechenregeln in diesem Kapitel nicht weiter erklärt.

Hinweise

  • Die folgende Regel hilft bei der Bestimmung der Stetigkeit von komplexen Funktionen: Die Kombination zweier (oder auch mehrerer) stetiger Funktionendurch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division führt wieder zu einer stetigen Funktion
  • Alle Funktionsstellen (bei gebrochen-rationalen Funktionen), wo ein Bruch durch “Null” geteilt wird, muss auf Stetigkeit geprüft werden. In der Regel liegt hier keine Stetigkeit der Funktion vor.

Stetigkeit einer Funktion – Kurvendiskussion – Testfragen/-aufgaben

1. Was bedeutet es, wenn man sagt, eine Funktion ist an einer Stelle x=c stetig?

Eine Funktion ist an einer Stelle x=c stetig, wenn sie dort sowohl linksseitig als auch rechtsseitig stetig ist und der Funktionswert an dieser Stelle existiert. Im mathematischen Sinne, wenn der Grenzwert von beiden Seiten und der eigentliche Funktionswert an der Stelle x=c gleich ist.

2. Wie lautet die Definition von Stetigkeit nach Heine?

Die Definition von Stetigkeit nach Heine besagt, dass eine Funktion an einer Stelle x0 stetig ist, wenn zu jeder noch so kleinen positiven Zahl ε ein positives δ existiert, so dass für alle x, die in der δ-Umgebung der Stelle x0 liegen (außer x0 selbst), der Funktionswert f(x) in der ε-Umgebung von f(x0) liegt.

3. Was versteht man unter einer unstetigen Funktion?

Ein Funktion f(x) ist unstetig an einer Stelle x=c, wenn sie an dieser Stelle entweder nicht definiert ist oder einen Sprung hat. Man unterscheidet dabei zwischen Sprungstelle, Polstelle und Unstetigkeitsstelle.

4. Wie kann man die Stetigkeit einer Funktion graphisch erkennen?

Die Stetigkeit einer Funktion kann man graphisch erkennen, indem man prüft, ob die Funktion ohne Absetzen der Feder gezeichnet werden kann. Wenn dies der Fall ist, dann ist die Funktion stetig. Ansonsten ist die Funktion unstetig.

5. Was bedeutet es, wenn eine Funktion stetig differenzierbar ist?

Eine Funktion ist stetig differenzierbar, wenn sie sowohl stetig als auch differenzierbar ist und ihre Ableitung ebenfalls stetig ist.

6. Was bedeutet es, wenn eine Funktion stetig ist auf einem Intervall?

Wenn eine Funktion auf einem Intervall stetig ist, dann ist sie an jeder Stelle in diesem Intervall stetig.

7. Was ist der Unterschied zwischen einer stetigen und einer gleichmäßig stetigen Funktion?

Eine Funktion ist gleichmäßig stetig, wenn das δ in der Heine‘schen Definition unabhängig von der Stelle x0 gewählt werden kann. Bei der Stetigkeit muss das δ für jede x0 einzeln gewählt werden.

8. Wie unterscheiden sich stetige und abschnittsweise definierte Funktionen?

Eine abschnittsweise definierte Funktion kann stetig oder unstetig sein, je nachdem, ob die Definitionen der einzelnen Abschnitte an ihren Grenzen übereinstimmen.

9. Was bedeutet der Satz von Bolzano für die Stetigkeit einer Funktion?

Der Satz von Bolzano besagt, dass jede stetige Funktion, die auf einem geschlossenen Intervall [a,b] definiert ist und an den Enden unterschiedliche Vorzeichen hat, mindestens eine Nullstelle in (a,b) hat.

10. Wie kann man mathematisch beweisen, dass eine Funktion an einer bestimmten Stelle stetig ist?

Zum Beweis der Stetigkeit verwendet man die ε-δ-Definition. Man wählt ein ε > 0 und zeigt, dass es ein δ > 0 gibt, so dass für alle x mit |x – x0| < δ gilt: |f(x) – f(x0)| < ε. Der Beweis ist erfolgreich, wenn man ein passendes δ für jedes ε finden kann.

Autor: , Letzte Aktualisierung: 27. Juli 2023