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Stetigkeit einer Funktion - Kurvendiskussion

Allgemein:

Eine Funktion stellt einen Zusammenhang zwischen zwei Elementen her (einer unabhängigen Variable und einer abhängigen Variable). Die Untersuchungen von Funktionen sind wesentlicher Bestandteil der sog. Kurvendiskussion. Ein Untersuchungskriterium einer Funktion ist die Bestimmung der Stetigkeit.
 

Die Stetigkeit einer Funktion

Den Begriff "stetig" bzw. "Stetigkeit" kann man anschaulich und mathematisch erklären. Die anschauliche Erklärung des Begriffes "Stetigkeit" einer Funktion kennt jeder mit der Aussage "der Graph einer Funktion macht keine Sprünge (d.h. der Funktionsgraph lässt sich (ohne Absetzen eines Stiftes) als durchgezogene Linie zeichnen).Ist dies nicht der Fall, ist die entsprechende Funktion nicht stetig.

Mathematisch ist der Begriff "stetig" etwas präziser definiert. Eine Funktion ist stetig, wenn die Funktion an allen Stellen stetig ist. Eine Stelle der Funktion ist stetig, wenn an dieser Stelle der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert gleich ist und dieser mit dem Funktionswert übereinstimmen. Eine Funktion ist also stetig, wenn die genannte Stetigkeitsbedingung für alle x-Werte des Definitionsbereichs erfüllt ist.

Die allermeisten Funktionen sind stetig, es gibt aber auch Funktionen, die nicht stetig sind. Dies kann folgenden Grund haben:

  • Die Funktion ist an einer Stelle nicht definiert (der x-Wert ist kein Element der Definitionsmenge)
  • Der Funktionswert ist an einer Stelle nicht definiert (es existiert an dieser Stelle kein Grenzwert)

Aus der mathematischen Definition der Stetigkeit bzw. der Stetigkeitsbedingung ergeben sich die "Nachweisregeln" für das Vorliegen einer Stetigkeit:

  • Alle x-Werte des Funktionsgraphens gehören zur Definitionsmenge
  • Es muss an jeder Stelle eine linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert existieren.
  • Dieser ermittelte Grenzwert muss mit dem Funktionswert an dieser Stelle übereinstimmen

Wie sicher die meisten erkannt haben, sind das auch die Regeln, die bei der Grenzwert-Berechnung verwendet werden. Daher werden diese Rechenregeln in diesem Kapitel nicht weiter erklärt.


Hinweis:
  • Die folgende Regel hilft bei der Bestimmung der Stetigkeit von komplexen Funktionen: Die Kombination zweier (oder auch mehrerer) stetiger Funktionendurch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division führt wieder zu einer stetigen Funktion
  • Alle Funktionsstellen (bei gebrochen-rationalen Funktionen), wo ein Bruch durch "Null" geteilt wird, muss auf Stetigkeit geprüft werden. In der Regel liegt hier keine Stetigkeit der Funktion vor.