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Surjektive, injektive und bijektive Funktionen

Allgemeines über die Beschreibung von Abbildungen:

Die Begriffe "surjektive, injektiv und bijektiv" stammen aus dem Bereich der Mengenlehre bzw. Beschreibung von Abbildungen. Diese Bezeichnungen charakterisieren, wie ein bestimmter Wert (x) in einer Menge A als Wert (y) in einer Menge B abgebildet wird. Die Begriffe surjektiv, injektiv und bijektiv lassen sich daher auch auf die Beschreibung von Funktionen anwenden. Eine Funktion bzw. die Funktionsgleichung wird als surjektiv bezeichnet, wenn für jedes y∈Wertemenge (= Zielmenge) mindestens eine Lösung aus x∈ Definitionsmenge existiert. Die Funktion wird als injektiv bezeichnet, wenn für jedes y∈Wertemenge höchstens eine Lösung aus x∈Definitionsmenge vorliegt. Ist eine Funktion sowohl surjektiv als auch injektiv wird diese Funktion als bijektiv bezeichnet.


Surjektive, injektive und bijektive Funktionen:

In der Einleitung wurde erwähnt, dass eine Funktion injektiv ist, wenn für jedes y∈Wertemenge höchstens eine Lösung x∈Definitionsmenge vorliegt. Einfach ausgedrückt bedeutet dies, dass bei einer injektiven Funktion jeder Funktionswert (y-Wert) nur höchstens einen dazugehörigen x-Wert (der Definitionsmenge) hat. Dies betrachten wir für die Funktion f(x):  y = x²


Funktion x²

In dem Funktionsgraph von y = x² erkennen wir, dass ein Funktionswert (y = 4) zwei zugehörige x-Werte hat (x = -2 und x = 2). Daher ist die Funktion nicht injektiv, da jeder y-Wert nur maximal einen dazugehörigen x-Wert haben darf (und umgekehrt).

Betrachten wir nun, ob die Funktion y = x² surjektiv ist. Eine Funktion ist surjektiv, falls für jedes y∈Wertemenge (= Zielmenge) mindestens eine Lösung x∈ Definitionsmenge exisitiert. Das heißt, eine Funktion ist surjektiv, wenn jeder y-Wert der Wertemenge / Zielmenge auch vorkommt. Daher ist die Funktion auch nicht surjektiv, da der Funktionswert y = -2 nicht vorkommt.


Zusammenfassung:

  • Wie wir am Beispiel y = x² sehen, gibt es auch Funktionen, die weder surjektv noch injektiv sind.
  • Ob eine Funktion surjektiv oder injektiv ist, hängt von der Definitionsmenge und dem Wertebereich ab (= Funktionsvorschrift). Schränkt man beispielsweise den Definitionsbereich ein [0; 4] für die Funktion y = x², so wäre die Funktion in diesem Bereich injektiv.

Zu Erinnerung aus der Mengenlehre:

injekiv