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Die Umkehrfunktion (in der Mathematik)

Allgemeines über die Funktion:

Eine Funktion ist eine Menge von Paaren (in der Regel mit x, y bezeichnet), wobei jedem Element x aus dem Definitionsbereich genau ein Element y aus dem Wertebereich zugeordnet wird. Zwischen den Elementen x und y liegt ein sogenannter funktionaler Zusammenhang vor (z.B. Die Anzahl an Produkten x (die ich kaufe) und deren Kaufpreis y (den ich bezahlen muss)). 

Gibt es nun eine "Funktion", die umkehrbar ist? d.h. einem y-Wert aus einem Wertebereich wird genau ein x-Wert aus dem Definitionsbereich zugeordnet?



Die Umkehrfunktion:

Wie eingangs erwähnt, bedeutet die Definition einer Funktion, dass ein x-Wert also nicht zwei verschiedene y-Werte als Funktionswerte haben kann (ansonsten lege eine Relation vor). Zu jedem x-Wert gibt es nur einen y-Wert, nämlich den Funktionswert y = f(x).

Allerdings ist es möglich, dass mehrere bzw. verschiedene x-Werte den gleichen y-Wert als Funktionswert aufweisen. Hier liegt kein Widerspruch gegen die Definition einer Funktion vor. Aus diesem Grund sind Funktionen in der Regel nicht umkehrbar, für jeden y-Wert gibt es nur einen (eindeutigen) x-Wert.

Es gibt aber Funktionen, die umkehrbar sind. Solche Funktionen werden auch als "bijektiv" bezeichnet. Für diesen Typ von Funktion gilt, dass die Funktion eine Umkehrfunktion hat, wenn jedem Element y aus der Wertemenge W genau ein Element x der Definitionsmenge D zugeordnet ist.

Warum befassen wir uns im Schulunterricht mit Umkehrfunktionen? Umkehrfunktionen helfen bei komplizierten Funktionen (z.B. physikalische Vorgänge in der Strömungslehre) diese in einfache (bzw. lösbare) Funktionen aufzuspalten. So ist beispielsweise die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion wieder die ursprüngliche Funktion.


Wie bestimmt man die Umkehrfunktion einer Funktion?


Im Prinzip ist es relativ einfach, die  Umkehrfunktion einer Funktion zu ermitteln. Im ersten Schritt löst man die Funktion y = f(x) nach x auflöst und im zweiten Schritt vertauscht man anschließend die Variablen x und y

Beispiel:   y = f(x) = 2·x + 2

  • 1. Schritt: Auflösen nach x:              x = 0,5·y - 1
  • 2. Schritt: x und y vertauschen:        y = 0,5·x - 1

Weitere Informationen zur Umkehrfunktion:

  • Bildet aus der Umkehrfunktion eine "neue" Umkehrfunktion, so gelangt man wieder zur ursprüngliche Funktion zurück.
  • Trägt man die Graphen einer Funktion und der "korrespondierenden" Umkehrfunktion in ein x,y-Koordinatensystem, so verhalten sich beide Graphen achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten
  • Trägt man die Funktion in ein "normales" x, y -Koordinatensystem und die Umkehrfunktion in x´,y´-Koordinatensystem (in dem die beiden Achsen x und y vertauscht werden), so sehen beide Graphen der Funktion identisch aus