Eine Funktion ist eine Menge von Paaren (in der Regel mit x, y bezeichnet), wobei jedem Element x aus dem Definitionsbereich genau ein Element y aus dem Wertebereich zugeordnet wird. Zwischen den Elementen x und y liegt ein sogenannter funktionaler Zusammenhang vor (z.B. Die Anzahl an Produkten x (die ich kaufe) und deren Kaufpreis y (den ich bezahlen muss)).
Gibt es nun eine “Funktion”,die umkehrbar ist? d.h. einem y-Wert aus einem Wertebereich wird genau ein x-Wert aus dem Definitionsbereich zugeordnet?
Wie eingangs erwähnt, bedeutet die Definition einer Funktion, dass ein x-Wert also nicht zwei verschiedene y-Werte als Funktionswerte haben kann (ansonsten lege eine Relation vor). Zu jedem x-Wert gibt es nur einen y-Wert, nämlich den Funktionswert y = f(x).
Allerdings ist es möglich, dass mehrere bzw. verschiedene x-Werte den gleichen y-Wert als Funktionswert aufweisen. Hier liegt kein Widerspruch gegen die Definition einer Funktion vor. Aus diesem Grund sind Funktionen in der Regel nicht umkehrbar, für jeden y-Wert gibt es nur einen (eindeutigen) x-Wert.
Es gibt aber Funktionen, die umkehrbar sind. Solche Funktionen werden auch als “bijektiv” bezeichnet. Für diesen Typ von Funktion gilt, dass die Funktion eine Umkehrfunktion hat, wenn jedem Element y aus der Wertemenge W genau ein Element x der Definitionsmenge D zugeordnet ist.
Warum befassen wir uns im Schulunterricht mit Umkehrfunktionen? Umkehrfunktionen helfen bei komplizierten Funktionen (z.B. physikalische Vorgänge in der Strömungslehre) diese in einfache (bzw. lösbare) Funktionen aufzuspalten. So ist beispielsweise die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion wieder die ursprüngliche Funktion.
Wie bestimmt man die Umkehrfunktion einer Funktion?
Im Prinzip ist es relativ einfach, die Umkehrfunktion einer Funktion zu ermitteln. Im ersten Schritt löst man die Funktion y = f(x) nach x auflöst und im zweiten Schritt vertauscht man anschließend die Variablen x und y
Beispiel: y = f(x) = 2·x + 2
Unter einer Umkehrfunktion oder inversen Funktion versteht man eine Funktion, die die ursprüngliche Funktion “umkehrt“. Sie nimmt die Ausgabenwerte der ursprünglichen Funktion als Eingaben und gibt die zugehörigen Eingabenwerte als Ausgaben zurück.
Die Umkehrfunktion wird symbolisch durch den Buchstaben “f” mit dem hochgestellten “-1” dargestellt. Zum Beispiel wird die Umkehrfunktion von f(x) als f-1(x) geschrieben.
Man erhält die Umkehrfunktion einer gegebenen Funktion, indem man “y” durch “x” und “x” durch “y” ersetzt und dann nach “y” auflöst.
Eine Umkehrfunktion existiert nur dann, wenn die ursprüngliche Funktion “injektiv” ist, d.h. jeder Eingabewert hat genau einen Ausgabewert und umgekehrt.
Der Graph einer Umkehrfunktion ist eine Spiegelung der ursprünglichen Funktion entlang der “Hauptdiagonalen” (y=x Linie).
Wenn man die Umkehrfunktion einer Umkehrfunktion bildet, erhält man die “ursprüngliche Funktion” zurück.
Eine Funktion muss “bijektiv” sein, d.h. sie muss sowohl injektiv als auch surjektiv sein, um eine Umkehrfunktion zu ermöglichen.
Die Umkehrfunktion von f(x) = 3x + 2 ist f-1(x) = (x – 2) / 3.
Man kann überprüfen, ob zwei Funktionen Umkehrfunktionen voneinander sind, indem man die Kombination der beiden Funktionen bildet. Wenn f(g(x)) oder g(f(x)) gleich “x” ist, dann sind die Funktionen Umkehrfunktionen voneinander.
Die Ableitung der Umkehrfunktion ist der Kehrwert der Ableitung der ursprünglichen Funktion bei dem entsprechenden “y-Wert“. Das heißt, wenn f'(x) die Ableitung der Funktion f ist, dann ist (f-1)'(x) = 1 / f'(f-1(x)).