Kongruenzsätze sind in der analytischen Geometrie ein wichtiges Hilfsmittel. Mithilfe der Kongruenzsätze lässt sich feststellen, ob zwei Flächen kongruent, d.h. deckungsgleich zueinander sind. Kongruente Figuren bzw. Flächen zu bestimmen, ist nicht nur eine mathematische Spielerei, sondern spielen auch in Alltag eine wichtige Rolle, beispielsweise bei Molekülflächen.
Im folgenden sollen die Kongruenzsätze “SSS”, “WSW”, “SWS” und “SSW” kurz vorgestellt werden.
Kongruent bedeutet, dass zwei Flächen (also z.B. Dreiecke) durch Parallelverschiebung, Drehung oder Spiegelung ineinander überführt werden können. Kongruent auf “Dreiecke” zu beziehen heißt, Dreiecke, wenn Dreiecke zueinander gleich in Form und Fläche sind.
Dieser Kongruenzsatz ist der einfachste Kongruenzsatz bei Dreiecken. Wie bereits die meisten vermuten, steht der Buchstabe “S” für Seite. Somit bedeutet der SSS-Satz, dass zwei Dreiecke, bei denen alle Seiten gleich lang sind bzw. die jeweilige Seitenlänge übereinstimmt (also Seitenlänge a von Dreieck1 entspricht der Seitenlänge a von Dreieck 2 u.s.w), kongruent sind. Die beiden Dreiecke haben somit den gleichen Flächeninhalt und die gleichen Winkel.
Dieser Kongruenzsatz besagt, dass wenn zwei Dreiecke die gleiche Länge einer Seite und die gleiche Größe der zwei anliegenden Winkel haben, dann sind diese beiden Dreiecke zueinander kongruent.
Dieser Kongruenzsatz besagt, dass wenn bei zwei Dreiecken zwei Seitenlängen und der Winkel zwischen den beiden Seitenlängen gleich sind, dann sind diese beiden Dreiecke kongruent.
Dieser Kongruenzsatz besagt, dass wenn zwei Dreiecke in den Längen zweier Seiten und im Betrag des Winkels, der der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen, dann sind diese Dreiecke zueinander kongruent.
Der einfachste Beweis (und wohl auch ein wenig umständlich) für die Kongruenzsätze ist, dass man auf einem Blatt Papier mit Zirkel und Lineal die Dreiecke (mit jeweils gegebenen Größen) zeichnet, die Dreiecke ausschneidet und versucht sie übereinander zu legen und zu ermitteln, ob sie kongruent sind (also deckungsgleich). Lernort-mint würde aber nicht für qualitativ hochwertige Aussagen stehen, wenn man die Beweisführung der Kongruenzsätze zeichnerisch mit Hilfe von Papier und Stift löst.
Der SSS-Kongruenzssatz: Dieser Satz besagt, dass zwei Dreiecke, bei denen alle drei Seitenlängen übereinstimmen, kongruent bzw. flächengleich sind. Diesen Satz muss man sicher nicht Beweisen, denn wenn alle Seitenlängen übereinstimmen, stimmt natürlich auch die Fläche der beiden Dreiecke überein und sind damit kongruent.
Der WSW-Kongruenzsatz: Dazu stellt man sich zwei Dreiecke ABC und DEF vor, bei denen eine Seite gleich lang ist und die beiden Winkel, die an dieser Seite anliegen, ebenfalls gleich sind.
Beweisführung für die Kongruenzsätze
Beweisführung für die Kongruenzsätze
Die anderen Kongruenzsätze (SWS und WSW) lassen sich auf ähnliche Art und Weise einfach und leicht beweisen, all diese Beweisführungen würde aber die Dimension dieses Kapitels sprengen und wahrscheinlich auch unübersichtlich machen.
Kongruenz in der Geometrie bezeichnet die völlige Übereinstimmung zweier Figuren in Form und Größe. Wenn zwei Figuren kongruent sind, bedeutet dies, dass sie durch Verschieben, Drehen und Spiegeln genau übereinander liegen können.
Die drei Kongruenzsätze für Dreiecke sind der SWS (Seite-Winkel-Seite), der WSW (Winkel-Seite-Winkel) und der SSS (Seite-Seite-Seite) Kongruenzsatz.
Der SWS-Kongruenzsatz wird verwendet, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel in zwei Dreiecken gleich sind. Also, wenn eine Seite, ein Winkel und wieder eine Seite in zwei Dreiecken übereinstimmen, sind diese Dreiecke kongruent.
Der WSW-Kongruenzsatz besagt, dass wenn in zwei Dreiecken ein Winkel, eine Seite und wieder ein Winkel übereinstimmen, die Dreiecke kongruent sind. Die übereinstimmende Seite muss dabei zwischen den beiden übereinstimmenden Winkeln liegen.
Zwei Dreiecke sind nach dem SSS-Kongruenzsatz kongruent, wenn alle ihre Seiten gleich sind. Der SSS-Kongruenzsatz besagt, dass wenn in zwei Dreiecken alle drei Seiten gleich lang sind, diese Dreiecke kongruent sind.
Der ZWS (Zwei-Winkel-Schenkelsatz) besagt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn in beiden Dreiecken zwei Winkel und der an diese Winkel angrenzende Schenkel gleich groß sind. Also, wenn zwei Winkel und eine an beide angrenzende Seite in beiden Dreiecken übereinstimmen, sind diese Dreiecke kongruent.
Der SSS-Kongruenzsatz zeigt, dass, wenn die drei Seiten eines Dreiecks den drei Seiten eines anderen Dreiecks entsprechen, beide Dreiecke kongruent sind.
Um zu beweisen, dass zwei Dreiecke kongruent sind, kann man einen der Kongruenzsätze verwenden. Man muss also zeigen, dass die gegebenen Seiten und/oder Winkel der beiden Dreiecke übereinstimmen.
Die Kongruenzsätze sind wichtig, weil sie helfen, die Ähnlichkeit oder Kongruenz von Dreiecken zu bestimmen, was grundlegend für viele Berechnungen und Beweise in der Geometrie ist.
Mit den Kongruenzsätzen kann man beispielsweise beweisen, dass die Winkelhalbierenden eines Dreiecks einen Punkt schneiden oder dass die Seitenhalbierenden eines Dreiecks sich in einem Punkt treffen. Diese Punkte sind im Allgemeinen nicht identisch.