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Die Geradengleichung in der Mathematik

Allgemeines über die Geradengleichung

Eine Geradengleichung bildet (bzw. beschreibt) in der Mathematik eine Gerade an. Eine Gerade ist eine unendliche Verlängerung zweier Punkte P1 und P2, wobei die Gerade die kürzeste Verbindung zwischen diesen zwei Punkten ist. Daher gibt es zwischen zwei Punkten immer genau eine Gerade, die sich durch die allgemeine Geradengleichung y = m·x + t beschreiben lässt.
 

Die Bestimmung einer Geradengleichung

Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit der allgemeinen Geradengleichung der Form : y = m·x + t
Dabei ist in der Geradengleichung y = m·x + t die Größe "m" die Steigerung der Gerade und "t" der sogenannte Achsenabschnitt. Der Wert "t" ist der y-Wert, bei der die Gerade die y-Achse schneidet.

Wir bestimmen nun die allgemeine Geradengleichung anhand zweier Punkte P1 und P2. Dabei ist der erste Wert eines Punktes immer der x-Wert und der zweite Wert ist der y-Wert, also P1(x1/y1) und P2(x2/y2)

Um eine Geradengleichung mit Hilfe zweier Punkte zu lösen gibt es zwei verbreitete Verfahren. Das erste Lösungsverfahren verwendet den Differentialquotienten zur Bestimmung der Geradengleichung. Bei zweiten Lösungsverfahren bildet man aus der allgemeinen Geradengleichung ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen und löst dies analog dem Lösungsverfahren für Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten.

In der Regel wird eine Geradengleichung mit Hilfe des Differentialquotienten bestimmt und nicht über ein Gleichungssystem. Nur in wenigen Fällen lohnt sich die Erstellung der Geradengleichung über ein Gleichungssystem mit zwei unbekannten zu lösen.


Lösungsverfahren 1:  Bestimmung der Geradengleichung mit Hilfe des Differentialquotienten

Wir berechnen nun eine Gerade durch die Punkte P1 (0/-2) und P2 (4/6) unter Verwendung der sogenannten Differentialquotienten. Der Differentialquotient ist dabei der Quotient aus den beiden Differenzen (y2 – y1) bzw. (x2 – x1)

Mit Hilfe dieses Lösungsverfahrens lässt sich die Steigung m einer Geradengleichung aus dem Differentialquotienten berechnen m = (y2 – y1) : (x2 – x1)

Bilden wir nun den Differentialquotienten zwischen den Punkten P1 und P2 erhalten wir

m =  (6 - (-2)) :  (4 - 0)  =  8 : 4  = 2

nachdem wir die Steigung m der Geradengleichung bestimmt haben, setzen wir einen Punkt in die Geradengleichung ein, beispielsweise P2 und lösen die Geradengleichung nach der Unbekannten "t" auf

6 = 2 · 4  +   t  
t  =  -2

Die Geradengleichung durch die Punkte P1 (0/-2) und P2 (4/6) ist definiert durch:  y = 2·x - 2 



Lösungsverfahren 2:  Bestimmung der Geradengleichung durch


Wir berechnen nun eine Gerade durch die Punkte P1 (0/-2) und P2 (4/6) unter Verwendung eines Gleichungssystems. Dabei setzen wir jeweils einen Punkt P1 bzw. P2 in die Geradengleichung ein und erhalten dadurch zwei Gleichungen (=> Gleichungssystem).

  Gleichung I  aus P1)      -2 = m ·0   + t
  Gleichung II aus P2)       4 = m ·(4) + t

Dieses Gleichungssystem lösen wir nun nach dem allgemeinen Lösungsschema für Gleichungssysteme (z.B. Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren). Link zu den Lösungsverfahren bei Gleichungssystemen

aus Gleichung I folgt: t = -2

setzen wir t = -2 in Gleichung II ein, so erhalten wir

Gleichung II') 6 = m ·(4) + (-2)

Gleichung II') 8 = m ·(4) 

aus Gleichung II') folgt m = 2

Die Geradengleichung durch die Punkte P1 (0/-2) und P2 (4/6) ist definiert durch:  y = 2·x - 2 

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