Eine Geradengleichung bildet (bzw. beschreibt) in der Mathematik eine Gerade an. Eine Gerade ist eine unendliche Verlängerung zweier Punkte P1 und P2, wobei die Gerade die kürzeste Verbindung zwischen diesen zwei Punkten ist. Daher gibt es zwischen zwei Punkten immer genau eine Gerade, die sich durch die allgemeine Geradengleichung y = m·x + t beschreiben lässt.
Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit der allgemeinen Geradengleichung der Form : y = m·x + t
Dabei ist in der Geradengleichung y = m·x + t die Größe “m” die Steigerung der Gerade und “t” der sogenannte Achsenabschnitt. Der Wert “t” ist der y-Wert, bei der die Gerade die y-Achse schneidet.
Wir bestimmen nun die allgemeine Geradengleichung anhand zweier Punkte P1 und P2. Dabei ist der erste Wert eines Punktes immer der x-Wert und der zweite Wert ist der y-Wert, also P1(x1/y1) und P2(x2/y2)
Um eine Geradengleichung mit Hilfe zweier Punkte zu lösen gibt es zwei verbreitete Verfahren. Das erste Lösungsverfahren verwendet den Differentialquotienten zur Bestimmung der Geradengleichung. Bei zweiten Lösungsverfahren bildet man aus der allgemeinen Geradengleichung ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen und löst dies analog dem Lösungsverfahren für Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten.
In der Regel wird eine Geradengleichung mit Hilfe des Differentialquotienten bestimmt und nicht über ein Gleichungssystem. Nur in wenigen Fällen lohnt sich die Erstellung der Geradengleichung über ein Gleichungssystem mit zwei unbekannten zu lösen.
Wir berechnen nun eine Gerade durch die Punkte P1 (0/-2) und P2 (4/6) unter Verwendung der sogenannten Differentialquotienten. Der Differentialquotient ist dabei der Quotient aus den beiden Differenzen (y2 – y1) bzw. (x2 – x1)
Mit Hilfe dieses Lösungsverfahrens lässt sich die Steigung m einer Geradengleichung aus dem Differentialquotienten berechnen m = (y2 – y1) : (x2 – x1)
Bilden wir nun den Differentialquotienten zwischen den Punkten P1 und P2 erhalten wir
m = (6 – (-2)) : (4 – 0) = 8 : 4 = 2
nachdem wir die Steigung m der Geradengleichung bestimmt haben, setzen wir einen Punkt in die Geradengleichung ein, beispielsweise P2 und lösen die Geradengleichung nach der Unbekannten “t” auf
6 = 2 · 4 + t
t = -2
Die Geradengleichung durch die Punkte P1 (0/-2) und P2 (4/6) ist definiert durch: y = 2·x – 2
Wir berechnen nun eine Gerade durch die Punkte P1 (0/-2) und P2 (4/6) unter Verwendung eines Gleichungssystems. Dabei setzen wir jeweils einen Punkt P1 bzw. P2 in die Geradengleichung ein und erhalten dadurch zwei Gleichungen (=> Gleichungssystem).
Gleichung I aus P1) -2 = m · 0 + t
Gleichung II aus P2) 4 = m · (4) + t
Dieses Gleichungssystem lösen wir nun nach dem allgemeinen Lösungsschema für Gleichungssysteme (z.B. Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren).
aus Gleichung I folgt: t = -2
setzen wir t = -2 in Gleichung II ein, so erhalten wir
Gleichung II’) 6 = m ·(4) + (-2)
Gleichung II’) 8 = m ·(4)
aus Gleichung II’) folgt m = 2
Die Geradengleichung durch die Punkte P1 (0/-2) und P2 (4/6) ist definiert durch: y = 2·x – 2
Die Geradengleichung ist eine mathematische Formel, die alle Punkte (x,y) auf einer Geraden in einem Koordinatensystem beschreibt.
Die allgemeine Form einer Geradengleichung lautet: y = mx + b
Der Parameter m ist die Steigung der Geraden und b ist der y-Achsenabschnitt, der den Punkt darstellt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.
Die Steigung einer Geraden ist das Maß dafür, wie steil die Gerade ist. Sie wird durch den Parameter m in der Geradengleichung repräsentiert.
Die Steigung einer Geraden wird berechnet als der Quotient aus der Vertikaldifferenz (Differenz der y-Werte) und der Horizontal differenz (Differenz der x-Werte) zweier Punkte auf der Gerade.
Wenn die Steigung einer Geraden 0 ist, dann ist die Gerade parallel zur x-Achse.
Ja, die Steigung einer Geraden entspricht dem Tangens des Winkels, den die Gerade mit der positiven x-Achse bildet.
Wenn die Steigung einer Geraden positiv ist, steigt die Gerade von links nach rechts. Wenn die Steigung negativ ist, fällt die Gerade von links nach rechts.
Wenn zwei Punkte auf der Geraden gegeben sind, kann man die Geradengleichung aufstellen, indem man zuerst die Steigung berechnet und dann den y-Achsenabschnitt bestimmt, indem man einen der beiden Punkte einsetzt.
Die Normalenform einer Geradengleichung hat die Form y = mx + b. Sie kann in die Normalform umgeformt werden, indem man den y-Achsenabschnitt auf die andere Seite der Gleichung bringt.