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Das Koordinatensystem (in der Geometrie)

Allgemeines über das Koordinatensystem

In der Geometrie befassen wir uns mit der Berechnung von geometrischen Figuren und Körpern. Damit wir geometrische Figuren im Raum bzw. auf einer Ebene konsturieren können, müssen definierte Bedingungen herrschen, d.h. jeder muss verstehen können, wo sich die Figur befindet. Diese Aufgabe erfüllt das Koordinatensystem. Das Koordinatensysteme dient dazu, die Lage eines Punktes in einer Ebene bzw. in einem Raum zu beschreiben (damit lässt sich auch jede geometrische Figur beschreiben, dass diese eine Vielzahl aus Punkten ist).

Es gibt inzwischen mehrere Arten von Koordinatensystemen. Die zwei am häufigsten verwendete Koordinatensysteme sind das kartesische
und das polare Koordinatensytem. Das kartesische Koordinatensystem ist dabei das am häufigsten verwendete Koordinatensystem, dass wir auch so aus dem Alltag kennen. Das kartesische Koordinatensystem ist ein orthogonales Koordinatensystem, d.h die Achsen des Koordinatensystems stehen senkrecht aufeinander.

Das Koordinatensystem kann entweder für eine zweidimensionale Fläche oder einen dreidimensionalen Raum angewendet werden. Da in der Schul-Mathematik / Physik und Chemie hauptsächlich das zweidimensionale kartesische Koordinatensystem verwendet wird, gehen wir in diesem Kapitel nur auf das zweidimensionale Koordinatensystem ein. In einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem gibt es genau zwei Achsen, die in der Mathematik mit x-Achse (=> Rechtsachse oder waagrechte Achse) und y-Achse (=> Hochachse oder senkrechte Achse) bezeichnet werden. In der Physik und Chemie werden diese Achsen mit den Symbolen für die chemischen bzw. physikalischen Größen gekennzeichnet.


Das Koordinatensystem in der Geometrie

Das kartesische Koordinatensystem

Wie eingangs erwähnt, befassen wir uns in diesem Kapitel "nur" mit dem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem. In einem kartesischen Koordinatensystem wird jeder Punkt einer zweidimensionalen Ebene durch Abstände zu den beiden Achsen gekennzeichnet. Diese Werte werden verwendet, um einen Punkt anzugeben, so ist jedem Punkt P ein Zahlenpaar (x / y) zugeordnet. Bei jedem Zahlenpaar können wir einen bestimmten (und genau definierten) Punkt P zuordnen. Mit Hilfe des kartesischen Koordinatensystems sind wir also in der Lage, die Koordinaten eines bestimmten Punktes abzulesen oder an einem genau festgelegten "Ort" einen Punkt zu konstruieren.

Das kartesische Koordinatensystem ist deshalb weit verbreitet, da es einfach zu konstruieren bzw. abzulesen ist. Wie erwähnt, handelt es sich bei dem kartesischen Koordinatensystem um ein orthogonales Koordinatensystem. Die beiden Achsen (Hochachse und Rechtsachse) stehen orthogonal aufeinander (zwischen den Achsen ist ein 90°-Winkel). Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem konstruiert, gibt es einen Punkt, an dem sich beide Achsen schneiden (bzw. von dort aus das Koordinatensystem ausgeht). Dieser Punkt P (0|0) in dem sich die beiden Achsen schneiden wird als Nullpunkt, Ursprungspunkt oder Koordinatenursprung, Ursprung bezeichnet.

karteisches Koordinatensystem

Die Rechtsachse oder waagrechte Achse in einem kartesischen Koordinatensystem wird in der mathematischen Fachsprache auch als Abszisse oder Abszissenachse bezeichnet. In der Geometrie wird diese Achse auch oft als x-Achse bezeichnet. Die Hochachse oder senkrechte Achse wird in der mathematischen Fachsprache auch als Ordinate oder Ordinatenachse bezeichnet. In der Geometrie wird diese Achse auch oft als y-Achse bezeichnet.



Manchmal spricht man in der Geometrie im kartesischen Koordinatensystem auch von Quadranten. Durch die zwei Achsen wird das Koordinatensystem (in der zweidimensionalen Ebene) wird in vier Quadranten unterteilt (siehe Abbildung). Liegt ein dreidimensionales, kartesisches Koordinatensystem vor, so teilen die drei Achsen den Raum in acht "Unterräume", den sogenannten Oktanten.



Das polare Koordinatensystem

Neben dem kartesischen Koordinatensystem gibt es noch das polare Koordinatensystem. Dieses Koordinatensystem ist in seiner Konstruktion und Ablesbarkeit (zu Beginn) schwieriger als im kartesischen Koordinatensystem. In dem polaren Koordinatensystem (auch als Polarkoordinatensystem bezeichnet) wird jeder Punkt P durch den Abstand vom Koordinatenursprung und den entsprechenden Winkel gegenüber der Horizontalen konstruiert.

Polarkoordinaten


Bei der Konstruktion eines Polarkoordinatensystems wird ein Nullpunkt bzw. Ursprungspunkt festgelegt. Von diesem Ursprungspunkt aus wird eine waagrechte Rechtsachse (in der Regel mit r bezeichnet) gezeichnet. Anschließend wird von einem beliebigen Punkt aus ein "Strich" bis zum Ursprungspunkt gezogen. Zwischen diesem Strich und der waagrechten Achse wird ein Winkel eingeschlossen, den man nun bestimmt. 

Die Koordinaten eines Punktes werden durch zwei Zahlenwerte (ein Zahlenpaar) angegeben. Die beiden Zahlen werden in runden Klammen geschrieben und voneinander (in der Regel) durch ein Komma getrennt. In der obigen Zeichnung hat der Punkt P die Koordinaten (2, 45°). Die erste Zahl gibt die Stelle auf der waagrechten Achse an, die zweite Stelle (die Stelle nach dem Komma) gibt den Winkel an.


Zusammenhang zwischen kartesischen und polaren Koordinatensystem

Die Koordinaten in einem Polarkoordinatensystem und in einem kartesischen Koordinatensystem können ineinander umgewandelt werden, dabei gilt:

von kartesischen Koordinaten auf polare Koordinaten
  • r = Wurzel (x² + y²)
  • tan α = y : x

von polaren Koordinaten auf kartesische Koordinaten
  • x = r · cos α
  • y = r · sin α