Die allgemeine Kreisgleichung – Anwendung

Allgemeines über die Kreisgleichung

Mit Hilfe der allgemeinen Kreisgleichung lässt sich jeder beliebige Punkt P mit dem Abstand r zu einem beliebigen Mittelpunkt M beschreiben. Die allgemeine Kreisgleichung mit Mittelpunkt M(x M/yM) und Radius r lautet:  (x – xM)² + (y – yM)² = r². Die allgemeine Kreisgleichung hat einige Vorteile, so lässt sich jeder beliebige Kreis durch seine Kreisgleichung beschreiben. Darüber hinaus kann die “Position” einer Gerade zu einem Kreis ermittelt werden (die Gerade kann zu einem Kreis als Sekante, Tangente oder Passante vorliegen).

Die oben erwähnte Darstellung der allgemeinen Kreisgleichung findet man noch in anderer Form wieder:  x² + y² = r² . Beide Gleichungen unterscheiden sich nur durch die Auswahl des Mittelpunktes: Die allgemeine Kreisgleichung basiert auf einem beliebigen Mittelpunkt, während die “spezielle” Kreisgleichung als Mittelpunkt auf dem Ursprungspunkt des Koordinatensystems P (0/0) basiert

Die allgemeine Kreisgleichung – Anwendung

Die (allgemeine) Kreisgleichung lässt sich für jeden beliebigen Kreis mit einem Mittelpunkt M und einem Radius r aufstellen. Der Mittelpunkt der Kreies ist dabei gekennzeichnet durch den Mittelpunkt M (xM/yM).

Die allgemeine Kreisgleichung

Die allgemeine Kreisgleichung

Die allgemeine Kreisgleichung (für einen beliebigen Wert) lautet: (x – xM)² + (y – yM)² = r². Diese allgemeine Kreisgleichung wird mit Hilfe des Satzes des Pythagoras hergeleitet.

Mit Hilfe dieser allgemeinen Kreisgleichung lässt sich beispielsweise bestimmen, ob sich ein beliebiger Punkt P (x/y) innerhalb des Kreises befindet:

  • (x – xM)² + (y – yM)² > r² => Punkt P liegt außerhalb des Kreises
  • (x – xM)² + (y – yM)² = r² => Punkt P liegt genau auf dem Kreis
  • (x – xM)² + (y – yM)² < r² => Punkt P liegt innerhalb des Kreises

Mit Hilfe dieser allgemeinen Kreisgleichung lässt sich auch bestimmen, ob eine beliebige Gerade seine Sekante, Tangente oder Passante in Bezug auf den Kreis darstellt. Ist der Abstand von Mittelpunkt M und Gerade g

  • kleiner als Radius r, so liegt eine Sekante vor (und es gibt zwei Schnittpunkte Kreis und Gerade)
  • gleich Radius r, so liegt eine Tangente vor (und es gibt einen Schnittpunkt Kreis und Gerade)
  • größer als Radius r, so liegt eine Passante vor (und es gibt keinen Schnittpunkt Kreis und Gerade)

Beispiel zur allgemeinen Kreisgleichung

  • Gegeben ist der Mittelpunkt M (1/2) und der Radius r = 5. Wie lautet die zugehörige Kreisgleichung => (x – xM)² + (y – yM)² = r² = (x – 1)² + (y – 2)² = (5)² = 25
  • Gegeben ist die Kreisgleichung  (x – 2)² + (y – 3)² = 25. Wie lauten die Koordinaten des Mittelpunkts? =>  P (2/3)

Die allgemeine Kreisgleichung – Anwendung – Testfragen/-aufgaben

1. Was versteht man unter der Allgemeinen Kreisgleichung?

Die Allgemeine Kreisgleichung ist eine Gleichung, die die Zugehörigkeit eines Punkts zu einem Kreis in einem kartesischen Koordinatensystem beschreibt.

2. Wie lautet die Formel der allgemeinen Kreisgleichung in der Ebene?

Die Formel lautet: (x – h)² + (y – k)² = r². Hierbei stehen h und k für die Koordinaten des Mittelpunkts und r für den Radius des Kreises.

3. Wie können Sie den Mittelpunkt eines Kreises aus der Gleichung entnehmen?

Die Koordinaten (h, k) des Mittelpunkts sind direkt in der Gleichung enthalten. Sie sind die Werte, von denen x bzw. y subtrahiert werden.

4. Wie lässt sich der Radius eines Kreises aus der Gleichung bestimmen?

Der Radius r ist die Quadratwurzel des konstanten Terms auf der rechten Seite der Gleichung.

5. Was passiert, wenn man in der Gleichung den Radius durch eine andere Zahl ersetzt?

Das Ändern des Radius führt zu einem anderen Kreis, der größer oder kleiner sein kann, je nachdem, ob die neue Zahl größer oder kleiner als der ursprüngliche Radius ist.

6. Was repräsentieren die Koeffizienten in der erweiterten Form der allgemeinen Kreisgleichung?

In der erweiterten Form x² + y² + Dx + Ey + F = 0 repräsentieren D und E die x- und y-Koordinaten des Kreismittelpunkts und F ist r².

7. Wie bestimmen Sie, ob ein gegebener Punkt auf dem Kreis liegt oder nicht?

Ersatz der x- und y-Koordinaten des Punkts in die Kreisgleichung. Wenn die Gleichung wahr ist, liegt der Punkt auf dem Kreis. Wenn nicht, liegt der Punkt außerhalb des Kreises.

8. Wie können Sie einen Kreis zeichnen, wenn Ihnen die allgemeine Gleichung gegeben ist?

Identifizieren Sie den Mittelpunkt (h, k) und den Radius r aus der Gleichung. Zeichnen Sie dann einen Kreis mit dem identifizierten Mittelpunkt und Radius.

9. Wie können wir die Gleichung eines Kreises finden, wenn uns der Mittelpunkt und der Radius gegeben sind?

Setzen Sie die gegebenen Werte für den Mittelpunkt (h, k) und den Radius r in die allgemeine Kreisgleichung ein, um die spezifische Gleichung für diesen Kreis zu finden.

10. Welche Rolle spielt die allgemeine Kreisgleichung in der Geometrie?

Die allgemeine Kreisgleichung spielt eine zentrale Rolle in der Geometrie, da sie es ermöglicht, Kreise in einem kartesischen Koordinatensystem zu beschreiben und zu analysieren.