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Die allgemeine Kreisgleichung - Anwendung

Allgemeines über die Kreisgleichung

Mit Hilfe der allgemeinen Kreisgleichung lässt sich jeder beliebige Punkt P mit dem Abstand r zu einem beliebigen Mittelpunkt M beschreiben. Die allgemeine Kreisgleichung mit Mittelpunkt M(x M/yM) und Radius r lautet:  (x - xM)² + (y - yM)² = r². Die allgemeine Kreisgleichung hat einige Vorteile, so lässt sich jeder beliebige Kreis durch seine Kreisgleichung beschreiben. Darüber hinaus kann die "Position" einer Gerade zu einem Kreis ermittelt werden (die Gerade kann zu einem Kreis als Sekante, Tangente oder Passante vorliegen).

Die oben erwähnte Darstellung der allgemeinen Kreisgleichung findet man noch in anderer Form wieder:  x² + y² = r² . Beide Gleichungen unterscheiden sich nur durch die Auswahl des Mittelpunktes: Die allgemeine Kreisgleichung basiert auf einem beliebigen Mittelpunkt, während die "spezielle" Kreisgleichung als Mittelpunkt auf dem Ursprungspunkt des Koordinatensystems P (0/0) basiert
 

Die allgemeine Kreisglechung - Anwendung

Die (allgemeine) Kreisgleichung lässt sich für jeden beliebigen Kreis mit einem Mittelpunkt M und einem Radius r aufstellen. Der Mittelpunkt der Kreies ist dabei gekennzeichnet durch den Mittelpunkt M (xM/yM). 

Kreis

Die allgemeine Kreisgleichung (für einen beliebigen Wert) lautet: (x - xM)² + (y - yM)² = r². Diese allgemeine Kreisgleichung wird mit Hilfe des Satzes des Pythagoras hergeleitet.

Mit Hilfe dieser allgemeinen Kreisgleichung lässt sich beispielsweise bestimmen, ob sich ein beliebiger Punkt P (x/y) innerhalb des Kreises befindet:

  • (x - xM)² + (y - yM)² > r² => Punkt P liegt außerhalb des Kreises
  • (x - xM)² + (y - yM)² = r² => Punkt P liegt genau auf dem Kreis
  • (x - xM)² + (y - yM)² < r² => Punkt P liegt innerhalb des Kreises

Mit Hilfe dieser allgemeinen Kreisgleichung lässt sich auch bestimmen, ob eine beliebige Gerade seine Sekante, Tangente oder Passante in Bezug auf den Kreis darstellt. Ist der Abstand von Mittelpunkt M und Gerade g

  • kleiner als Radius r, so liegt eine Sekante vor (und es gibt zwei Schnittpunkte Kreis und Gerade)
  • gleich Radius r, so liegt eine Tangente vor (und es gibt einen Schnittpunkt Kreis und Gerade)
  • größer als Radius r, so liegt eine Passante vor (und es gibt keinen Schnittpunkt Kreis und Gerade)

Beispiel zur allgemeinen Kreisgleichung

  • Gegeben ist der Mittelpunkt M (1/2) und der Radius r = 5. Wie lautet die zugehörige Kreisgleichung => (x - xM)² + (y - yM)² = r² (x - 1)² + (y - 2)² = (5)² = 25  
  • Gegeben ist die Kreisgleichung  (x - 2)² + (y - 3)² = 25. Wie lauten die Koordinaten des Mittelpunkts? =>  P (2/3)