Neben dem “Rechnen im Dreieck” ist das Gebiet “Rechnen im Viereck” ein weiteres wichtiges Werkzeug in der analytischen Geometrie. Die analytische Geometrie ist nicht nur ein wichtiges Werkzeug in der Mathematik, sondern auch in anderen Naturwissenschaften wie z.B. Physik bei der Bestimmung von Kräften.
Die geometrische Figur des Vierecks
Bei einem Viereck handelt es sich um eine geometrische Figur, wobei die “Figur” vier Seiten, vier (Innen)winkel, zwei Diagonale und vier Ecken aufweist. Es handelt sich innerhalb der euklidischen Geometrie um eine Figur in der Ebene. Die Eckpunkte eines Vierecks werden immer in Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn klassifiziert. Wichtige mathematische Größen bei Vierecken sind die vier Seiten und die vier Winkel, der die unterschiedlichen Vierecke unterscheidet.
In dem nun folgenden Kapitel soll die Berechnung von Flächen bei Vierecken genauer betrachtet werden.
Die Fläche von Vierecken
Oft hört man, die Formel zur Berechnung von Flächen bei Vierecken ist einfach “Höhe mal Länge”. Dies ist aber nur ein Teil der Wahrheit. Im allgemeinen Teil über Vierecke wurde bereits aufgezeigt, dass es verschiedene Arten von Vierecken gibt. Dies fängt an bei Quadraten (alle Seiten sind gleich lang) bis zum Trapez (bei dem mehrere unterschiedlich lange Seiten vorliegen.
- Fächeninhalt eines Quadrates: In einem Quadrat sind alle Seitenlängen gleich, daher muss nicht in Höhe in Länge des Vierecks unterschieden werden und die Formel zur Berechnung der Fläche ist einfach F = (Seitenlänge)² .
- Flächeninhalt eines Rhombus: Bei einem Rhombus sind ebenfalls alle Seitenlängen gleich lang, nur liegen keine Winkel von 90° vor. Hier gibt es mehrere Formeln zur Berechnung der Fläche, eine Formel ist z.B. F = 0,5 · (Diagonale1) · (Diagonale2) (dies ist wohl die einfachste Formel). Es gibt aber auch die Formel F = Seitenlänge · Höhe (diese Formel ist etwas komplizierter, da die Höhe erstmal berechnet werden muss, die Höhe ist der Abstand zwischen zwei gegenüberliegenden Seiten). Es existiert aber noch eine weitere Formel, die manchmal verwendet wird. Dazu zeichnet man vom Schnittpunkt der Diagonalen einen Kreis mit dem Radius r so, dass der Kreisbogen die Seiten berührt. Mit Hilfe dieser Methode bestimmt sich die Formel F = 2 · Seitenlänge · Radius r. Wie man sieht ist es nun nicht mehr ganz so einfach, den Flächeninhalt eines Rhombus zu berechnen. Man sollte daher immer bestimmen, welche Größen gegeben sind und die entsprechende Formel auswählen.
- Flächeninhalt eines Parallelogramms: Hier kann man ebenfalls die Formel F = Seitenlänge · Höhe verwenden. Dazu muss in einem Parallelogramm bestimmt werden, welche die richtigen Größen sind, denn es existieren im Parallelogramm zwei verschiedene Seitenlängen und daher auch zwei verschiedene Höhen. Eine davon ist leicht zu bestimmen, die andere etwas schwerer.
Fläche eines Parallelogramms
In unserem Beispiel ist nur die Höhe a der (kürzeste) Abstand zwischen den beiden gegenüberliegenden Seiten (a und c).
die Höhe b ist nicht der (kürzeste) Abstand zwischen den beiden gegenüberliegenden Seiten (b und d), da
sich die Höhe jeweils senkrecht (90°) zu den beiden gegenüberliegenden Seiten befinden muss.
- Flächeninhalt eines Rechtecks: Hier gilt ebenfalls die Formel F = Länge · Höhe, da es in einem Rechteck jeweils nur zwei unterschiedlich lange Seiten gibt (meist Seite a und b bzw. c und d), muss man zur Flächenberechnung nur die beiden unterschiedlich langen Seiten miteinander multiplizieren.
- Flächeninhalt eines Trapezes: Hier gilt ebenfalls die Formel F = Länge · Höhe, mit der gleichen Problematik, wie bei der Flächenbestimmung beim Parallelogramm. Man muss immer die richtige Seite und die entsprechende Höhe auswählen. In nachfolgender Skizze wird dies gezeigt
Flächenbestimmung beim Trapez
Flächen von Vierecken – Testfragen/-aufgaben
1. Welche Arten von Vierecken kennen Sie?
Die unterschiedlichen Arten von Vierecken sind Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Trapez und Drachenviereck.
2. Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks?
Die Fläche eines Rechtecks berechnet sich durch das Produkt aus Länge und Breite.
3. Wie berechnet man die Fläche eines Quadrats?
Die Fläche eines Quadrats berechnet sich, indem man die Seitenlänge quadriert.
4. Wie berechnet man die Fläche eines Parallelogramms?
Die Fläche eines Parallelogramms berechnet sich durch das Produkt aus Basis und Höhe.
5. Wie berechnet man die Fläche eines Trapezes?
Die Fläche eines Trapezes berechnet man, indem man die Summe der Grundseiten mit der Höhe multipliziert und dann durch 2 teilt.
6. Wie berechnet man die Fläche eines Drachenvierecks?
Die Fläche eines Drachenvierecks berechnet man, indem man das Produkt der Diagonalen halbiert.
7. Was bedeutet “parallele Seiten” in Bezug auf ein Viereck?
Parallele Seiten in einem Viereck bedeuten, dass zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel zueinander sind.
8. Was sind die Eigenschaften eines Quadrats?
Die Eigenschaften eines Quadrats sind: alle Seiten sind gleich lang und alle Innenwinkel betragen 90 Grad.
9. Gibt es Vierecke mit all gleich langen Seiten aber mit Innenwinkeln, die nicht recht sind?
Ja, solche Vierecke existieren und sie werden als Rhomben bezeichnet.
10. Ist jedes Quadrat auch ein Rechteck?
Ja, jedes Quadrat ist auch ein Rechteck, da es die Bedingungen eines Rechtecks erfüllt (alle Innenwinkel betragen 90 Grad und gegenüberliegende Seiten sind gleich lang).
