Lösungsverfahren für Gleichungssysteme – Das Additionsverfahren (bzw. auch Eliminierungsverfahren)

Das Lösen von Gleichungssystemen und Ungleichungssystem ist eines der wichtigsten Kapitel nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den anderen Naturwissenschaften. Im Prinzip hat man immer zwei “mathematische Aussagen”, die zueinander in Relation gesetzt werden. Ziel ist immer eine Lösungsmenge zu bestimmen, für die die mathematische Aussage gilt (Gleichung allgemein).  Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es drei verschiedene Verfahren (je nach Anzahl an Variablen in der Gleichung wird ein Lösungsverfahren bevorzugt). Beim Bestimmen der Lösungsmenge einer Ungleichung wird ein ähnliches Lösungsverfahren verwendet, wie beim Lösen einer Gleichung. Allerdings mit einem großen Unterschied, so benötigt man für einige Ungleichungen Fallunterscheidungen. Meistverwendete Lösungsverfahren sind:

• Äquivalenzumformung (für eine Variable, lineares Gleichungssystem),
• Einsetzungsverfahren (für zwei Variablen, lineares Gleichungssystem),
• Additionsverfahren (für zwei Variablen, lineares Gleichungssystem),
• Gauß-Verfahren (für zwei und mehr Variablen, lineares Gleichungssystem) und
• Quadratische Ergänzung (für eine Variable, quadratisches Gleichungssystem).

Das Additionsverfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen

Additionsverfahren (für zwei Variablen, lineares Gleichungssystem): Beim Additionsverfahren (auch Eliminationsverfahren genannt) wird durch Addition (bzw. Subtraktion) zweier Gleichungen eine Variable heraus gekürzt und kann so nach der anderen Variablen lösen.

Wiederholung: lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen bedeutet, dass eine Gleichung mit zwei Unbekannten / Variablen (meist als “x” und “y” bezeichnet) vorliegt, die Variablen liegen dabei in der Gleichung mit “hoch 1” vor (kein x² oder x³).

Beispiel:
Gegeben sind zwei Gleichungen (zum Lösen von 2 Variablen benötigt man mind. 2 Gleichungen):

Gleichung 1: 2x + 4y = 42
Gleichung 2: -6x + 2y = -14

Ziel ist es nun, durch Multiplikation einer Gleichung, diese so zu verändern, dass durch Addition beider Gleichungen eine Variable heraus gekürzt wird. In Gleichung 1 steht “2x” und in Gleichung 2 steht “-6x”. Multipliziert man nun die gesamte Gleichung 1 mit “3”, so erhält man in Gleichung 1 “6x”, addiert man nun beide Gleichungen, so kürzt sich die Variable x heraus (6x + (-6x) = 0

Gleichung 1: 2x + 4y = 42         / mit “3” multiplizieren, die neue Gleichung wird als Gleichung 1.1 bezeichnet
Gleichung 2: -6x + 2y = -14

Gleichung 1.1:  6x + 12y = 126  / nun beide Gleichungen miteinander addiert, linke  + linke Seite = rechte + rechte Seite
Gleichung 2.0: -6x +  2y = -14

14y = 112 / nun teilt man die Gleichung durch 14
y = 8

Dieses Ergebnis (y = 8) kann man sowohl in Gleichung 1 oder Gleichung 2 einsetzen und man erhält damit die Variable x.

Gleichung 1: 2x + 4y = 42        /Wert für die Variable y einsetzen
2x + 4·(8) = 42    /ausmultiplizieren
2x + 32 = 42      / nach x auflösen, d.h. beide Seiten mit “-32” erweitern
2x + 32 – 32 = 42 – 32
2x = 10              /beide Seiten der Gleichung durch “2” teilen
x = 5

Ebenso kann man durch Subtraktion beider Gleichungen eine Variable herauskürzen, Gleichung 1 enthält “4y” und Gleichung 2 “2y”. Multipliziert man Gleichung 2 mit “2”, so enthält jede Gleichung “4y” und kann durch die Subtraktion beider Gleichungen heraus gekürzt werden.

Gleichung 1: 2x + 4y = 42
Gleichung 2: -6x + 2y = -14     / mit “2” multiplizieren, die neue Gleichung wird als Gleichung 2.1 bezeichnet

Gleichung 1.0: 2x + 4y = 42
Gleichung 2.1: -12x + 4y = -28  / nun folgt Gleichung 1 – Gleichung 2
14x = 60 / nun teilt man die Gleichung durch 14
x = 5

Dieses Ergebnis (x = 5) kann man sowohl in Gleichung 1 oder Gleichung 2 einsetzen und erhält damit die Variable y

Gleichung 1: 2x + 4y = 42        /Wert für die Variable x einsetzen
2·(5) + 4y = 42    /ausmultiplizieren
10 + 4y = 42      / nach y auflösen, d.h. beide Seiten mit “-10” erweitern
4y + 10 – 10 = 42 – 10
4y = 32              /beide Seiten der Gleichung durch “4” teilen
x = 8

Zusammenfassung

Dieses Lösungsverfahren von Gleichungssystemen (linear, 2 Variablen) beruht auf dem Additions- bzw. Subtraktionsverfahren. Im Prinzip beruht das Verfahren in der äquivalenten Umformung des gegebenen Gleichungssystems mit mehreren Variablen (Unbekannten) in eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.

• Zu einer Gleichung kann das Vielfache einer anderen Gleichung addiert werden, so dass sich eine Variable herauskürzt.
• Dabei kann eine Gleichung  mit einer reellen Zahl multipliziert werden.

Vorgehensweise:

• Man entscheidet sich für eine Variable, die durch das Additionsverfahren heraus gekürzt werden soll (es spielt keine Rolle, ob man sich für x oder y (oder wie die Variable heißt)). Dann bestimmt man jeweils das kleinste gemeinsame Vielfache der Faktoren vor der Variable x und vor der Variablen y und multipliziert jeweils die Gleichung, dass vor der Variable das kgV steht.

         Gleichung 1: 2x + 4y = 42         /·3
         Gleichung 2: -6x + 2y = -14
         Im Beispiel wird die Variable “x” ausgesucht, die Faktoren vor dem “x” sind 2 und 6, das kgV daraus ist 6. 
         Somit muss 2 mit “3” multipliziert werden.

• Man kann auch die erste Gleichung mit dem Faktor, der vor dem x der zweiten Gleichung steht, multiplizieren und die zweite Gleichung mit dem Faktor,  der vor dem x der ersten Gleichung steht, multiplizieren.

         Gleichung 1: 2x + 4y = 42         /·6
         Gleichung 2: -6x + 2y = -14      /·2

• Falls die Faktoren vor der Variable (die gekürzt werden soll) dasselbe Vorzeichen haben, dann subtrahiert man die Gleichungen voneinander. Wenn die Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben, dann werden beide Gleichungen addiert.
• Dadurch die Addition bzw. Subtraktion beider Gleichungen entsteht eine Gleichung mit nur noch einer Variablen. Diese Gleichung wird nun durch normale Äquivalenzumformungen nach der übriggebliebenen Variablen aufgelöst.
• Der erhaltene Wert wird nun in eine der ursprünglichen Gleichungen für die jeweilige Variable eingesetzt, wodurch wieder eine Gleichung entsteht, die nur noch eine Variable, enthält. Diese Gleichung wird nun durch normale Äquivalenzumformungen aufgelöst.

Lösungsverfahren für Gleichungssysteme – Das Additionsverfahren (bzw. auch Eliminierungsverfahren) – Testfragen/-aufgaben

1. Was versteht man unter einem Gleichungssystem?

Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Die Unbekannten in diesen Gleichungen sind die gleichen.

2. Was ist das Ziel des Additionsverfahrens?

Das Ziel des Additionsverfahrens ist es, durch Addition oder Subtraktion von Gleichungen eine neue Gleichung zu erhalten, in der eine der Unbekannten eliminiert ist.

3. Was ist die Grundidee hinter dem Eliminierungsverfahren?

Die Grundidee hinter dem Eliminierungsverfahren ist es, eine Unbekannte zu eliminieren, um eine einfachere Gleichung zu erhalten, die gelöst werden kann. Anschließend wird die gelöste Unbekannte in die andere Gleichung eingesetzt, um die zweite Unbekannte zu berechnen.

4. Welcher Schritt kommt nach dem Eliminieren einer Unbekannten?

Nach dem Eliminieren einer Unbekannten wird die erhaltene Gleichung gelöst. Anschließend wird der erhaltene Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt, um die andere Unbekannte zu berechnen.

5. Muss das Additionsverfahren immer in gleicher Weise durchgeführt werden?

Nein, das Additionsverfahren kann variiert werden, etwa durch Vorwegnehmen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen oder durch eine andere Reihenfolge beim Eliminieren der Unbekannten.

6. Was passiert, wenn man beim Additionsverfahren einen Fehler macht?

Ein Fehler beim Additionsverfahren kann dazu führen, dass die erhaltene Lösung falsch ist. Deshalb ist es wichtig, jeden Schritt sorgfältig zu überprüfen.

7. Was passiert, wenn die Koeffizienten der Unbekannten in den beiden Gleichungen gleich sind?

Wenn die Koeffizienten der Unbekannten in den beiden Gleichungen gleich sind, kann man durch Subtraktion der Gleichungen eine der Unbekannten eliminieren.

8. Wieviele Lösungen kann ein Gleichungssystem haben?

Ein Gleichungssystem kann eine, unendlich viele oder gar keine Lösung haben, abhängig von den Koeffizienten der Unbekannten und den Konstanten in den Gleichungen.

9. Kann man das Additionsverfahren auch für Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten verwenden?

Ja, man kann das Additionsverfahren auch für Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten verwenden, allerdings wird das Vorgehen dann komplexer.

10. Wie lässt sich überprüfen, ob eine gefundene Lösung korrekt ist?

Eine gefundene Lösung lässt sich überprüfen, indem man die ermittelten Werte der Unbekannten in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt. Wenn beide Gleichungen erfüllt sind, ist die Lösung korrekt.